Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

32. Петя, Вася и Мухтар

Из одной точки одновременно в одном направлении (в магазин по тропинке) выходит Петя (v1=3 км/ч), Вася (v2=4 км/ч) и Мухтар, который (бедный, голодный) бегает между Петей и Васей (не тратя времени на разворот) со скоростью v3=10 км/ч.
Где будет находиться Мухтар через час?
2006-11-23

Обсуждение


Задачи :: Петя, Вася и Мухтар
↓↓ 0 ↑↑   eruditor.ru (100 / 203)   26 янв 2007 18:22   »»


Там где и вася, на расстоянии 4 км от начальной точки
↓↓ 0 ↑↑   KASKADER (4 / 19)   08 мар 2007 23:40   «« #2 »»   Ответить


Нет.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   12 мар 2007 19:04   «« #3 »»   Ответить


Мухтар будет находиться между Петей и Васей!
Ну или дома - если они быстро сходят!
↓↓ 0 ↑↑   Super (0 / 19)   13 мар 2007 08:00   «« #4 »»   Ответить


да он уже сдохнет!
↓↓ 0 ↑↑   рл (0 / 2)   24 мар 2007 19:33   «« #5 »»   Ответить


там где Петя +- пару метров
↓↓ 0 ↑↑   so-ivan (4 / 28)   29 мар 2007 09:30   «« #6 »»   Ответить


2.5 км от места старта
↓↓ 0 ↑↑   Fender (0 / 15)   30 мар 2007 00:23   «« #7 »»   Ответить


Собачку жалко....
У меня есть два решения задачки:
1. Собака будет ровным слоем размазана на расстоянии от 3 до 4км от старта, между Петей и Васей.
2. Собака сойдет с ума в первые же секунды после старта.
Обоснование:
1.Будем решать от обратного. Если собака в конечный момент находилась на расстоянии 3км вместе с Петей, то бегая в соответствии с условиями задачи, ровно через час она окажется в точке старта. А где она будет через час, если в конечный момент была на расстоянии 3км вместе с Васей? Правильно -тоже в точке старта. Точно также она окажется в точке старта, если стартует из люой точки между Петей и Васей.
2.В первый же момент движения собака не выполняет условия задачи - находиться между Петей и Васей, так как опередит обоих.

Думаю, что неопределенность решения в п.1 вытекает как раз из п.2, т.е. конечное положение бедного животного зависит от того, на какой доле секунды после старта собака развернется обратно и начнет бегать в соответствии с условиями задачи.
↓↓ +4 ↑↑   ssparh (4 / 4)   30 мар 2007 10:08   «« #8 »»   Ответить


Сорри опечатка
нужно читать "А где она будет через час, если в конечный момент была на расстоянии 4км вместе с Васей?"
↓↓ 0 ↑↑   ssparh (4 / 4)   30 мар 2007 10:11   «« #9 »»   Ответить


примерно в 3400 метрах от старта(или в 400 метрах от Пети)
ответ очень примерный. могу посчитать точнее но мне честно говоря лень
↓↓ 0 ↑↑   Anhelm (0 / 9)   09 апр 2007 20:44   «« #10 »»   Ответить


Ну уж потрудитесь, пожалуйста
100$ за строгое решение вас устроит?
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   09 апр 2007 23:23   «« #11 »»   Ответить


решение существует?
↓↓ 0 ↑↑   САН (7 / 34)   23 апр 2007 18:11   «« #12 »»   Ответить


Финиширует вместе с Васей
Как мне кажется, его метания между Петей и Васей не важны, т.к. он за час все равно пробежит 10 км соответственно его скорости. Следовательно, если посмотреть на сумму его пробега, то можно утверждать, что он пробежал 4 км за Васей, по-любому, это 24 минуты. Плюс 3 км вместе с Петей, от начальной точки старта Пети до точки финиша Пети это 18 минут. И если рассмотреть его пробег независимо от парней, то 4 км туда + 3 км обратно, то он будет на отметке в 1 км. И за оставшиеся 18 минут он пробежит еще 3 км, т.е. он финиширует на отметке в 4 км вместе с Петей.
↓↓ 0 ↑↑   Balamut (5 / 14)   27 апр 2007 17:04   «« #13 »»   Ответить


Сорри
финиширует вместе с Васей :)
↓↓ 0 ↑↑   Balamut (5 / 14)   27 апр 2007 17:05   «« #14 »»   Ответить


Нет.
Непонятно, что значит "пробежал 4 км за Васей" и "3 км вместе с Петей".
Почти правильное решение - у ssparh.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   27 апр 2007 17:50   «« #15 »»   Ответить


Расстояние между Петей и Васей увеличивается непрерывно от 0 до 1 км и в вреднем составляет 500 м. По этому расстоянию и бегает бедное животное. Бегая 500 м туда-обратно оно в конечном итоге оказывается (учитывая скорость) ровно вначале, т.е. рядом с Петей, а Петя прошел 3 км. Значит о собака в 3 км от точки старта.
↓↓ 0 ↑↑   Китаец (0 / 12)   01 май 2007 08:10   «« #16 »»   Ответить


2.5 км от места старта
нет?
↓↓ 0 ↑↑   Fender (0 / 15)   05 май 2007 13:23   «« #17 »»   Ответить


2.5 км от места старта
нет?
↓↓ 0 ↑↑   Fender (0 / 15)   05 май 2007 13:24   «« #18 »»   Ответить


На расстоянии 10 км от точки старта
Так как Мухтар стартует одновременно с Петей и Васей, то он сразу же будет впереди них, так как его скорость самая большая. Значит он будет бежать только вперёд, так как Вася с Петей останутся сзади. Чтобы догнать Петю, Мухтар должен обогнуть земной шар, но за час он пробегает только 10 км. Значит, ответ 10 км от точки старта.
↓↓ +5 ↑↑   Makc (5 / 4)   10 май 2007 10:40   «« #19 »»   Ответить


считал "в лоб" в excel
получилось 3706 от старта. Сообщите, пожалуйста, решение!
↓↓ 0 ↑↑   chief2 (0 / 2)   21 июн 2007 02:45   «« #20 »»   Ответить


задача некорректна.
они не могут выйти троем с одной точки в одном направлении, т.к. в противном случае мухтар сразу же обгоняет Васю, что противоречит условию (он должен бегать между ними).
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   21 июн 2007 16:26   «« #21 »»   Ответить


Возможно, кому-то мои рассуждения покажутся бредом. Ну да ладно...:)
Первым делом упрощаем навязанную нам систему. Т.к. скорость Васи 4 км/ч, а Пети - 3, то относительно Пети Вася идет со скоростью 1 км/ч. Исключив Петю, получаем новую систему, где всего 2 элемента - Вася (1 км/ч) и Мухтар (10км/ч), которые находятся в точке начала отсчета. М. теперь должен бегать между равномерно удаляющимся В. и 0.

Теперь представим себе эту же систему, где Вася и Мухтар не материальные объекты, а точки В и М на плоскости. Чтобы движение началось (и не противоречило условию), точка с меньшей скоростью - В должна продвинуться на некоторое первоначальное расстояние, т.е. сделать «первый шаг» (ПШ). Хотя двигаются точки одновременно, но именно от этого ПШ зависит то, как будет двигаться точка М. Легко заметить, что расстояние ПШ в случае с точками стремится к 0. Поэтому движение в принципе никогда не начнется до тех пор, пока не будет конкретизировано расстояние ПШ.

Однако, в случае с настоящими объектами проблема ПШ решаема и связано это с тем, что каждый материальный объект имеет свои физические параметры, например, длину. Мухтар - не точка, для движения ему нужен простор. Поэтому расстояние ПШ Васи будет равно длине собаки + некоторое расстояние, необходимое ей, чтобы сделать хотя бы один шаг.

Дальше рассмотрим, как измененяется расстояние. А изменяется оно постоянно - каждую секунду, каждую десятую, сотую, тысячную долю секунды, каждое мгновение. Естественно это создает проблему. В связи с этим введем еще одно понятие - «минимальное время изменения расстояния» (МВИР), которое представляет собой конкретный промежуток времени, через который происходит изменение расстояния. В идеале МВИР должно совпадать с временем, необходимым для того, чтобы сделать ПШ.

Т.о., подводя итог, можно сказать, что ответ на задачу В ТОМ ВИДЕ, В КАКОМ ОНА ДАНА в принципе не может быть точнее между 3 и 4 км (о чем, кстати, и говорил ssparh).
Стоит, однако указать МВИР и, как ни глупо это звучит, длину собаки и расстояние можно будет высчитать довольно просто с помощью нехитрого графика.
Хотя я, конечно, могу и ошибаться.

Уф...
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   24 июн 2007 13:01   «« #22 »»   Ответить


еще мысля
1. Пусть все выходят одновременно выходят с точки A. Из условия задачи следует, что мухтар должен догнать Васю (4 км/ч), чтобы развернуться и бежать к Пете (3 км/ч) допустим пройдет некторое время t, прежде чем Мухтар догонит Васю в точке Б. Пусть расстояние между точками А и B равно d, тогда скорость Васи V_v = d/t = 4 км/ч, а скорость Мухтара: V_m = d/t = 10 км/ч. Т.е. 4 = 10, чего естественно быть не может, а значит задача некорректна.

2. Второй способ: Допустим Мухтар стартует с точки A, а Вася выходят с точки B, и Мухтар догонит Васю в точке C через t, тогда скорость Васи V_v = BC/t = 4, а скорость Мухтара V_m = AC/t = (AB+BC)/t = AB/t+BC/t = 4 + AB/t = 10; => AB/t = 6; t = AB/6. Из условия задачи следует что точки A и B совпадают, т.е. AB = 0, => t = 0, что означает: Мухтар догонит васю через 0 часов, или Мухтар Васю никогда не догонит...
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   25 июн 2007 01:58   «« #23 »»   Ответить


Re#Zero
ssparh, не знаю, сознательно или нет, использовал в своём решении очень важную аллегорию: "будет ровным слоем размазана".
Все объекты в задачке размеров не имеют. Так что вводить ПШ непозволительно.
Но зато позволительно считать объекты квантовыми, и приписать им некоторую начальную неопределённость в координате.
Подробнее варианты можете додумать сами, но ещё одна прелесть задачки в том, что она демонстрирует пример системы с расходящимися погрешностями. Если в момент времени t неопределённость координаты Мухтара равна dx, то несмотря на то, что в момент t=0 неопределённости никакой нет dx(t=0)=0, оказывается, что dx линейно растёт со временем. И через час dx=1 км.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   25 июн 2007 02:39   «« #24 »»   Ответить


Всё правильно. В первую секунду (или менее) ,когда все три объекта двинулись — Мухтар тупо стоит. а после начинается *РАЗМАЗЫВАНИЕ* Вот тут и вопрос: Стоит? или движется со скоростью 10 км/ч?Взаиморасчёт какой-то.
↓↓ 0 ↑↑   Сашка (-15 / 6)   19 дек 2014 19:58   «« #41 »»   Ответить


Интересно...
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   25 июн 2007 15:00   «« #25 »»   Ответить


Даже слишком
Для меня слишком заумно...
↓↓ 0 ↑↑   Syana (0 / 2)   26 сен 2007 23:10   «« #26 »»   Ответить


Верность Мухтара.
Представим себе Петю, стоящего в начале длинного ж/вагона, который движется со скоростью 3 км/час.
Внутри этого вагона бежит Вася с скоростью 1 км/ч относительно Пети.
За час Вася удалится от Пети на 1 км.
Мухтар за 1 час пробежит 10 км. Стартуя от Пети, через час он будет возле него (10*1 км).
Поскольку Петя за час "проедит" 3 км, то Мухтар будет в 3 км от начала старта.
(Через 2 часа Мухтар пробежит 20 км и будет в 6 км от старта и т.д.)
↓↓ 0 ↑↑   МАВР (5 / 19)   07 дек 2007 11:29   «« #27 »»   Ответить


А если посмотреть в обратном направлении?
В любой момент времени (М)ухтар находится между (П)етей и (В)асей которые представляют собой границы возможного нахождения М.
Представим их движение в обратном направлении из любого момента времени в начало.
расстояние между В и П сокращается, метания М всё учащаются. К моменту старта местонахождения В и П совпадают и М соответственно тоже. И это не зависит от точки в которой находится М в начале рассмотрения.
То есть точка нахождения М в некоторый момент времени может быть любой между В и П.
Это значит говорить можно об области нахождения либо вероятности нахождения.
↓↓ 0 ↑↑   Arietz (0 / 9)   17 мар 2008 03:20   «« #28 »»   Ответить


2Arietz etc.
товарищи, вы когда-нибудь начнёте сначала читать уже написанное до вас, а потом уже строчить свои собственные соображения?..
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   17 мар 2008 09:54   «« #29 »»   Ответить


докажите что я не прав!
собака будет находится на растоянии 10км от старта тк ясно сказано что мухтар не тратит времени на разворот, соответственно движется дальше пытаясь догнать петю обогнув земной шар
↓↓ 0 ↑↑   kentakl9 (0 / 6)   26 фев 2009 15:58   «« #30 »»   Ответить


Собака будет находится РОВНО на расстоянии 3 км от старта.
Вот вам зависимость: L=3*t, где L - растояние [км],а t - время [час].
↓↓ 0 ↑↑   Einstein (0 / 4)   06 мар 2009 21:59   «« #31 »»   Ответить


Согласен с Arietz
у меня в решениях получалось что Мухтар будет или около Пети или около Васи... - но я знал где в моих решениях недочет(точнее слишком грубые округления) Но скорее всего здесь нельзя найти точного решения.
> Fender Ну ты подумай!!- а не строй из себя шута перед всеми... -Мухтар должен находиться всегда между мальчиками, тоесть через час на промежутке от 3 км. до 4 км. А ты говоришь 2,5 !!!!!!!!
↓↓ 0 ↑↑   Givchik3316 (0 / 31)   09 авг 2009 23:43   «« #32 »»   Ответить


Не около
С чего вообще большинство из вас считает, что в конечный момент времени, получится так что собака окажется у одного из них? Ничего не подсчитывая ясно, что вероятность гораздо меньше, чем если она окажется в пути от одного до другого ведь сказано, что на разворот она не тратит времени, а в пути как раз и проводит большинство. Если рассматривать задачу в системе движущейся в обратном направлении движению ребят, со скоростью 3км/с, получим упрощенный вариант, модель движения собаки, но ,к сожалению, мне это ничего не дало...
Странно то, что движение её задано определенно, а описать его не могу. Были варианты, но связать несколько переменных вместе: тут время возвращения собаки к В зависит от времени перемещения до П, это, в свою очередь, зависит от времени перемещения до В со старта. Нужно как-то описать зависимость увеличение расстояния, которое пробегает собака от времени... Есть у меня предположение что увеличивается в геометрической прогрессии, но оно не подкреплено ничем.
Т-щ eruditor Очень хотелось бы услышать какую-нибудь подсказку или решение, давно голову над ней ломаю и никак не доходит. Заранее благодарен.
↓↓ 0 ↑↑   hayoki (0 / 1)   19 авг 2010 05:54   «« #33 »»   Ответить


программа
Написал простенькую программу на Delphi считающую положение Пети , Васи и собаки в каждую секунду. если не ошибся ответ - на 3,578 км от старта.
↓↓ 0 ↑↑   arzenslim (0 / 1)   09 ноя 2010 17:57   «« #34 »»   Ответить


...
если сдвинуть Васю на 1см задача детерминирутся, но именно эти сантиметры определяют положение на отрезке [3,4] км...
↓↓ 0 ↑↑   Blabber (0 / 14)   18 янв 2011 07:54   «« #35 »»   Ответить


Согласен. Все три наших героя изначально находятся в одной точке.Несколько секунд-сантиметров не указаны.А это по-моему важно.
↓↓ 0 ↑↑   Сашка (-15 / 6)   19 дек 2014 20:06   «« #42 »»   Ответить


Школьное объяснение
Расстояние между Петей и Васей с течением времени нарастает. Через час оно стало равным 1 км. Мухтар за час пробежал 10 км. Поскольку, он бегал туда-сюда между Петей и Васей, а расстояние между ними через час оказалось равным 1 км, то, можно сказать, что Мухтар "пробежал десять км в одном километре" (простите за нематиматичность изложения). Соответственно, пес этот несчастный километр за час пробегал туда-сюда ровно десять раз. Значит, через час он был либо в точке с Петей, либо с Васей(смотря, кого из них принимать за начальную точку мухтаровской беготни). Хотя, думаю, что это задачку уже здесь решили)))
↓↓ 0 ↑↑   Cheshirer (0 / 1)   01 июл 2011 10:18   «« #36 »»   Ответить


Скорость Мухтара относительно скорости Васи
Как Мухтар может бегать между Петей и Васей, если его скорость больше скорости Васи? Получается противоречие в самом условии задачи. Для Мухтара Петя и Вася - крайние точки. При начале движения Мухтар должен мгновенно опередить Васю из-за большей скорости, тогда он нарушит условие о перемещении только между ними.
↓↓ 0 ↑↑   dim75c (0 / 3)   03 авг 2011 10:15   «« #37 »»   Ответить


Кто-нибудь может опровергнуть этот ответ?
В обсуждении несколько одинаковых ответов про скорость пса (включая мой). Кто-нибудь может поспорить? С одной стороны, всё логично, с другой, как-то неестественно просто.
↓↓ 0 ↑↑   dim75c (0 / 3)   03 авг 2011 10:51   «« #38 »»   Ответить


Верность Мухтара. //МАВР
молодчик) самый нормальный ответ) держи зачотку)
↓↓ 0 ↑↑   lavsvip (-124 / 40)   28 авг 2011 19:55   «« #39 »»   Ответить


для любителей фантазий про Земной шар, возьмите что Мухтар стартовал на 1 км дальше от дома. "верность мухтара" правильно пишет, только 3 км не от старта а от новой системы координат. то есть пес будет рядом с тем кто быстрее
↓↓ 0 ↑↑   дима (0 / 3)   07 дек 2014 20:05   «« #40 »»   Ответить


Сумма ряда.
Для начала зафиксируем Петю. Тогда Вася удаляется от него со скоростью 1км/ч. Мухтар же убегает со скоростью 7 км/ч а прибегает — с 13 км/ч (формула сложения скоростей). Теперь, чтобы избавится от сингулярности в начальной точке поступим так: развернем задачу во времени. Т.е. Вася стоит в 1 км от Пети и начинает к нему приближаться со скоростью 1 км/ч. Мухтар находится на расстоянии Х от Васи и бежит в ЕГО сторону со скоростью 13 км/ч. Находим их время встречи и расстояние которое пробежал Мухтар и выражаем его через Х. Теперь Мухтар бежит к Пете с 7км/ч. Аналогично находим время и расстояние Мухтара (также выражаем через Х). Находим суммы расстояний в общем случае. У меня вышло как сумма двух степенных рядов (1-x/14)((13/14)*(6/7))^n + (1-x/14)((13/14)^2n-1 * (6/7)^2n). С другой стороны за час Мухтар пробежал 10 км. Приравниваем обе суммы. находим Х. НО. где-то ошибся. Х получается отрицательным.
↓↓ 0 ↑↑   andrej71 (0 / 1)   07 апр 2016 12:49   «« #43 »»   Ответить


Задача не имеет решения. Или математическое понятие "неопределённость"
Обратим время вспять.
Итак,начальные условия такой задачи: на растоянии 1 км друг от друга Вася и Петя, приближающиеся друг к другу со скоростью 1 км/ч (заметьте, что любым образом, хоть один стоит на месте, или движутся навстречу или в одном направлении) и Мухтара, находящегося в любой точке внутри отрезка В-П, движущегося в любом направлении абсолютно неважно какой скоростью, но 10км/ч по условию задачи, через час схлопнулись. зажав шарик (М) между собой в точке ДОМ.
В этот момент время снова начинает бежать в обычном направлении (от прошлого через настоящее к будущему). И вновь, через час, каким бы не была скорость М, он находится внутри отрезка В-П длинной 1 км, в неопределённой точке.
↓↓ 0 ↑↑   Геннадий (0 / 7)   16 апр 2017 16:12   «« #44 »»   Ответить


думаю, что принцип неопределённости будет действовать до тех пор, пока мы не определим начальное положение точек В-М-П, то есть расстояние между ними. Допустим Петя-дистанция 1 метр-Мухтар-дистанция 1 метр-Вася. Немного изменим начальные дистанции, и задача имеет уже другое решение
↓↓ 0 ↑↑   Геннадий (0 / 7)   16 апр 2017 16:23   «« #45   Ответить



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2017   Авторы