92. Парадокс двух конвертов

Решение
Почему использовали в задаче именно такую формулу? Ведь по законам Теории вероятности, вероятность 50% на 50%.

В чем симметрия??
Все не могу понять в чем заключается "симметрия", ведь суммы раскиданы в геометрической прогресии да еще и с "краем", т.е. ассиметрично.

Т.е., например, берем наименьшую возможную сумму - 1 копейку. Далее кладем их стопочками на отрезке в геометрической прогрессии: 2 коп., 4 коп. и т.д. вплоть до некоторой максимальной суммы 2^N, N>>1. Затем случайным образом выбираем две соседние стопочки и рассовываем по двум одинаковым конвертам.

Допустим, мы выбираем случайным образом промежуток между стопками. Затем равновероятно от него либо в право, либо влево 2 стопки. У "краев" симметрия нарушена: между одной копейкой и двумя - вправо можно выбрать 2 стопки (2 и 4 коп.), а влево нельзя (там только 1 копейка лежит). Корме того, если у тебя в конверте оказалась одна копейка, то очевидно надо брать второй конверт :-) Это так сказать "краевая ассиметрия".

Ее, конечно, можно сильно уменьшить делая выборки вблизи центра отрезка, около N/2 (и разумеется, при условии N>>1). Тогда для довольно широкой области можно "погасить" краевые эффекты и задача становится в некотором приближении в этой области "краево-симметричной". ( У физиков так вообще постоянно бывает: у краев кристалла всякая "гадость" (в частности, нарушается трансляционная инваринатность), но в глубине обьема этим можно пренебречь. :-) ).

Но тут я снова не вижу симметрии: при выборе второго конверта потенциально проигрывается меньшая сумма, чем потенциально выигрывается. (Это, разумеется не означает, что при последовательных повторах это даст бОльший выигрыш, т.к. если область действительно широкая, и на след. раз выпадет y>>x, то именно y будет определять выигрыш или проигрыш. В бесконечность по числу попыток тоже уйти нельзя, число попыток должно быть во всяком случае << N/2 (характерный масштаб "гашения" "краевых" эффектов, (своего рода инфракрасная обрезка в кристалле :-) ) см. выше)). (снова возвращаясь к "широкой области") так вот это похоже чем-то на игру на бирже: в вашем конверте х, готовы ли вы рискнуть половиной этой суммы имея возможность выиграть 2х? (ответ, понятно, чисто субьективный(есть маленькие, но по 3 и большие, но по 5 ;-) ). Вот на этот вопрос отвечает постановка и результат 1,25х. И это из-за того, что выбрана геометрическая, а не арифметическая последовательность. В чем тут симметрия-то?

А сейчас еще погуглить попробовал по названию: оказалось, все еще сложнее. И кроме того, прогресс в этой области математики еще идет:
http://lenta.ru/news/2009/08/19/envelopes/

Хотя я все равно не понял пока о какой "симметрии" идет речь?

(навеяно частной беседой)
Все равно не могу понять в чем вопрос. :-)

Предлагаю для начала разобрать другую (упрощенную) задачу:

берем и раскладываем по одинаковым конвертам 1000 евро, 2000, 4000, 8000, 16 000 и 32 000. Нумеруем конверты карандашем соответсвенно: 0, 1, 2,3, 4 (т.е. вероятность выпадения любого из числе 1/5) (так что сумма в нем: 2^n 1000 евро).

Запускаем генератор случайных чисел от 0 до 4 с плоским распределением, т.е. выпадение любого числа равновероятно. Если выпадет нуль: берем конверты с 1000 и 2000, если 1: с 2000 и 4 000, если 2: 4000 и 8000 и т.п. ... если 4 с 16000 и 32000. Затем на выбранных конвертах стираем карандаш и тщательно эти неразличимые конверты перемешиваем. Даем на выбор игроку.


Теперь рассмотрим ситуацию, что в открытом игроком конверте 4000 евро. В этом отличие от предыдущей задачи: пусть игрок знает схему приготовления и у него именно такая сумма.

Но вопрос зададим тот же самый: "разумно" ли выбрать второй конверт?

Вероятность того, что в нем окажется 2000: это произведение вероятности выпадения 1 на вероятность вытянуть из двух одинаковых конвертов с меньшей суммой: т.е. (1/5)*(1/2)=1/10; вероятность что 8000: вероятность выпадения двойки на 1/2 (конверт с бОльшей суммой) т.е. тоже 1/10. С точки зрения вероятностей оба события равновероятны. Но сумма потенциального выигрыша - больше (потенциальная "прибыль" 4000, потенциальный "убыток" 2000). "Разумно" ли брать второй?

По ответу на вопрос в этой упрощенной задачке я смогу понять что подразумевается под словом "разумно" в формулировке, а возможно, пойму таки наконец что понимается под "интуитивной симметрией", бо пока не вижу никакой симметрии.

Есть в условии задачи - "можно посчитать" ;)
Полагаю, что посчитав сумму, мы можем иметь 2 числа (четное и нечетное), если нечет берем другой конверт, т.к. нечет не может быть удвоенной суммой другого числа.

10 и 20, какие числа?

А если наоборот.
Допустим, что в первом конверте у нас Y денег, а во втором у нас Y*2 денег. Вероятность того, что мы возьмем первым конверт с Y денег равна 1/2, и что с Y*2 равна 1/2, средний выигрыш Y*1.5. Если мы взяли конверт с Y, то вероятность при смене конвертов с вероятностью 1 мы возьмем конверт с Y*2, если взчли конверт с Y*2, то с вероятностью 1 поменяв возьмем конверт c Y. Итого при смене те же Y*1.5, как и раньше. А все из за того, что не стоит считать зависимые эксперименты независимыми.

все дело в том что написано неправильно, там три сменные 0,5; 1; и 2, а должно быть 2: 1 и 2 и тогда мы можем выбрать или 1 или 2 среднее число 1,5, ровно столько сколько и должно быть!!!

Весь вопрос в зависимости событий — количество денег в конвертах зависит друг от друга и на момент эксперимента уже определено, а значит применение теории вероятности для уже определённого объёма денег не приемлимо, так как отсутствует элемент случайности — вероятность всегда 50% на 50%

Если каждый раз дают фиксированную сумму (допустим 100), то рассуждения в условии верны. Действительно х=100 и т.д. Но если сумма в первом конверте не оговорена, то про х лучше не вспоминать. Допустим я меняю конверт, первый раз дали 50, поменял получил 100. Второй раз дали 200, поменял, получил 100. Итак при замене средний выигрыш 100, а если не менять, то 125.

Средний выигрыш 1,25х не имеет никакого отношения к вероятности что во втором конверте будет...

Это задача трех дверей. Но здесь всего 2 конверта и распределение вероятности в данном случае не в пользу (как и не во вред) игрока при смене решения. Она остается той же.

Старая поговорка "Лучше синица в руках....". Если не вскрывать второй конверт, то игрок однозначно останется в выигрыше. А если вскроет второй конверт, появляется вероятность быть в проигрыше, хоть и не в полном. Так что думаю, вскрывать не стоит