26. Девушка на плоту

Дополнение.
Желательно найти такую стратегию, которая позволит выбраться на берег с минимальными затратами времени.

грести подальше
думаю, следует мысленно провести прямую между положением байкера и девушке, и грести к точке пересечения этой прямой с противоположной от байкера стороной

Так-то оно может и хорошо.
Но хотелось бы увидеть более строгое рассуждение.

ответ
начать двигаться в сторону от байкера.
но пи*радиус больше чем редиус в пи раз, а не в 4(поэтому число такое:-)
когда байкер побежит, плыть всё время в сторону от него,

кхе-кхе
Девушка находится в центре окружности. Ясно, что минимальное расстояние от центра до края окружности - это ее радиус - по нему то и надо двигаться. Проведем мысленную прямую через место, где находится байкер и центр окружности. Двигаться надо по этой прямой в сторону где нет байкера. Байкер движется по окружности, а длина этой окружности равна 2*Pi*R (Pi=3.14..., R - радиус озера). За то время, пока девушка доплывет до берега (преодолеет растояние R) байкер сможет преодолеть расстояние 4*R. Стоит отметить, что байкеру надо преодолеть расстояние не 2*Pi*R, а Pi*R (пол окружности), чтобы "догнать" девушку. А т.к. Pi*R<4*R (3,14R<4R), то байкер по любому достанет. Но я верю, что девушке весло поможет не берегу :)

e.g.
Можно, к примеру, плыть от центра по полуокружности,радиусом R/2, соединяющей центр озера и точку на берегу, начиная, конечно, в сторону от байкера. Тогда путь нашей подруги будет равен Pi*R/2, тогда как у байкера 3*Pi*R/4.

неа, догонит,хотя путь байкера будет 3/2 Pi*R а не 3*Pi*R/4. У байкера скорость выше в 4 раза!
Я думаю, быстрее всего будет так:
девушке надо выйти на "орбиту", где до берега по прямой будет L=Pi*R/4. При этом R1 "орбиты" почти в 5 раз меньше чем R (кто сомневается, может посчитать сам). Значит, угловая скорость девушки на этой "орбите" выше, чем у байкера,что легко позволит ей удерживать байкера и остров на одной линии.
По достижении "орбиты" и убедившись, что она и байкер на одной линии, проходящей через остров - прямиком к берегу иноги в руки!

Девушка на раз уходит от этого невезучего байкера. Пусть "орбита убегания" - это маленький круг радиусом r, для которого выполняется условие: если девушка находится на этой орбите, а байкер - на противоположной стороне озера (радиус озера R), то девушка доплывает до берега быстрее байкера. Значит 4*(R-r) = ПR. (ПR - это столько бежать байкеру, R-r - плыть девушке). Отсюда r = R * (4-П) / 4 = 0.215*R. Теперь определим "орбиту обгона" - то есть круг радиусом m, внутри которого девушка плывет с угловой скоростью, большей, чем пробегает байкер. Грубо говоря, четыре длины окружности этой орбиты равны периметру озера. Расчеты опускаю, элементарно, что m = R/4 = 0.25 * R. Супер, все сходится! m > r ! Самый простой способ для девушки - начать движение от байкера, когда он побежит, то плыть все время от него, постепенно поворачивая. Ясно, что ей будет хватать времени и на движение "по окружности" (проходя тот же угол, что и байкер), и на движение к берегу (до достижения радиуса m). Ну, а когда она минует орбиту убегания r (притом, что байкер находится на диаметрально противоположном берегу) - смело можно грести по прямой.

Господа, не забывайте, что это девушка...
... а не выпускник физтеха! Глупая девушка, которая уплыла от байкера на середину озера, устав загорать, будет думать не столько о своем назойливом поклоннике, а об оставленных на берегу тапочках!

Лихо орудуя веслом, девушка ломанется в сторону тапочек. Байкер побежит туда же, опережая девушку и думая: "Вот ты и попалась!" Глупая напуганная девушка резко поплывет в строго противоположную сторону. Байкер побежит вокруг озера.

Если у девушки чувство самомохранения развито не меньше, чем ее интеллект, то она должна прыгнуть в воду и доплыть до берега.

Кстати, а чего это байкер бегает, а не ездит на своем ТС? Загонял бы девушку до смерти...

Уважаемый Rha!
Судя по вашему рассуждению и презрению к интеллекту девушек ваш интеллект не далеко ушёл от писываемой вами девушки! Извините )))

поправка к предыдущему
от интеллекта описываемой вами девушки

Девушка сможет убежать.
Сделаем так: внутри озера выделим круг с центром в центре озера и радиус этого круга в 4 разаменьше чем радиус озера: 4*р=Р. В этом круге Девушка сможет перемещаться быстрее, чем байкер вокруг озера (а на границе скорости равны). Значит девушка сможет занять положение на противоположной от центра стороне маленлького круга от байкера (байкер на берегу, центр озера и девушка находятся на одной линии и растояние между ними 4*р и р). Расстояние до берега 3*р. И девушка успевает: по суше надо пройти Р*Пи, а он пройдет 3*4*р=3*Р и это меньше Р*Пи.

ЖОРИК, 4*р=Р не годится, в этом случае он как раз прибудет к моменту ее причала. Вы сами пишите, что на границе скорости равны. Значит, "р" должен быть несколько меньше. Сколько? На этот вопрос четко ответил FarFar р (у него это r) = 0,215P, это min. Максимум действительно р=0,25Р

Немного перепутал, извиняюсь. Ясно, что девушка должна перемещаться по кругу до тех пор, пока не окажется на одной линии с преследователем с противоположной стороны от центра. С этого момента она должна направиться прямиком к берегу, никаких заумных спиралей, только по прямой. У радиуса этой маленькой окружности есть 2 характерных значения: r min = 0,215R, т.е. минимальный радиус, при кот. они оба прибывают в одну точку; и r max = 0,25R, максимальный радиус, при кот. девушка перемещается с одинаковой угловой скоростью с преследователем, иными словами, если радиус будет большим, она не сможет достичь нужной точки отрыва, преследователь обогнет озеро быстрее, чем она проплывет свой круг. Поэтому правильный ответ дал FarFar: 0,215R<r<0,25R. Не такая уж большая вилка.

плыть к точке, диаметрально противоположной той, в которой находится байкер, при этом разворачивая плот по спирали, "направление" которой совпадает с направлением пережвижения байкера. :)

Согласен
Полностью согласен с последним решением, но хотелось бы уточнить. Т.е. девушка начинает плыть по прямой в сторону от байкера, далее смотрит в какую сторону он побежал и мысленно проводит прямую между собой и байкером и начинает плыть вдоль неё (опять же в сторону от байкера), т.е. траектория получается типа спирали.

"Типа спирали"..
"Типа спирали" - это очень далеко от правильного ответа.

30 градусов
Проведем горизонтальную прямую чз центр озера и начинаем плыть от байкера. Пусть байкер побежал вправо, тогда девушка начинает плыть влево по прямой под углом в 30 гр. к прямой:
1. если байкер дальше продолжает бежать по окружности, то ему нужно пробежать до точки пересечения траектории пути девушки (2/3)*2*пи*R =4/3*пи*R, что больше 4R, в то время как девушка будет уже в этой точке, т.к. плыть ей < R (она изначально чуть проплыла вверх)

далее..
..таким образом байкер ее не достанет,
(поправка: изначально полагаем, что байкер снизу, проще былоб нарисовать, но думаю, кто захочет, поймет)
2. Если байкер решит развернутся и бежать "по часовой стрелке", тогда девушка начинает двигаться вправо под углом 30 гр. к проведенной ранее прямой, очевидно, когда байкер достигнет своей начальной точки, расстояние мду ним и девушкой увеличится, далее девушка действует по той же схеме.

типа спирали....
....абсолютно правильный ответ поскольку надо учитывать не тоьлко геометрию но и физику . попробуйте резко плот повернуть хоть на 30% я посмеюсь над вами не говоря уж о потере скорости. при движении по спирали байкер всегда должен быть за спиной у девушки и спираль может уложиться в обычный полукруг (считать надо - лень)

мрак..
По-вашему, спираль и полукруг - это очень похожие геометрические объекты?

хмм..если он бегает в 4 раза быстрее..то девушка должна почти доплыть до места куда он прибежал, потом развернуться и начать плыть в другую сторону.тем временем байкер прибежит туда,откуда убегал. девушке останется проплыть всего 1/2R к берегу. байкер вроде должен не успеть...похоже ваще на решение?

Ikk'u
Да. Похоже. Единственно, что для этого байкер должен быть тупым. Но и все другие тут предлагаемые мего-физические решения тоже подрузамивают тупость байкера.
То как вы решаете, ей достаточно будет отплыть всего чуть-чуть, а не 1/2R, ведь главное добратся до земли, а на каком расстоянии будет байкер - не важно ,лишь бы не достал...

Почему у байкера нет байка???

загорайте на байдарке, она быстрее :-)
Отдохнувшая мадемуазель гребёт все время в противоположном от байкера направлении, двигаясь по окружности радиусом вчетверо меньше радиуса озера (и с центром, смещённым от центра озера тоже на четверть радиуса озера); в тот момент, когда байкер пробежит четверть окружности озера,девушка (которая проплывёт тоже четверть своего маленького круга) начинает двигаться строго по прямой (которая через байкера и плот проходит; т.е. девица перестаёт поворачивать плот и гребёт тупо прямо). Если я не запутался в подсчетах, байкер таки чуть-чуть за ней не успевает :-)

Догонит во всех трех вариантах решения до которых я додумался.
не важно сколько окружностей вписать, девушка не сможет постоянно двигаться в противоположним от байкера направлении по радиусу вписаных окружностей, небольшого расстояния всегда будет не хватать, за счет него и догонит.

я читал выше написанное :-) просто другой способ проверки
Лично я решал через время, которое понадобится байкеру и девушке, чтобы добраться до берега... Можно представить, что байкер находиться в нижней точке. Девушка начинает движение в противоположную сторону... Предположим байкер бежит вправо. Девушка начинает двигаться по окружности с радиусом в r/2 в левую сторону, тогда получиться, что ей надо пройти путь (pi*r/2), а байкеру (3/4*2*pi*r), зная что скорость девушки v и ск. байкера 4v можно сравнить время затраченное на их перемещения к предпологаемой точкой пересечения траектории плота с берегом. 1. время девушки: tg=(pi*r/2)/v; 2. время байкера: tb=(3/2*pi*r)/(4*v). После недолгих вычислений получаем, что отношение времени затраченного на прибытие в "конечную" точку 4/3. При чем 4 для девушки, т.е. байкер там будет раньше. Решение ifinto не верно... Эрудитор так и не утвердил ответ Фар-фара, но он вроде верный.
P.S.: я новенький на этом празднике жизни, так что не издевайтесь, что ответу оброс бородой ^_^

Таки всё просто (относительно :)
Задачу блондинки разбиваем на 2 подзадачи:
1. Оказаться как можно ближе к берегу, при этом центр озера, она сама и байкер должны оказаться на одной прямой.
2. Плыть, как можно быстрее к берегу.
1. Ясно, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы угловая скорость блондинки была больше или равна угловой скорости байкера. Пусть радиус озера R, расстояние от центра озера до блондинки - r. Оба двигаются по дуге окружности. Путь, который проходит байкер за время t - alpha*R, путь блондинки за это же время - alpha*r. Скорость блондинки - v, скорость байкера - 4v. Имеем: alpha*R/4v=alpha*r/v. Отсюда - r=R/4. То есть блондинка находясь в четверти радиуса от центра озера легко держится так, чтобы центр озера лежал на прямой между ней и байкером.
2. Теперь, когда блондинка зашла так далеко в своих начинаниях, проверим, успеет ли она пристать к берегу, если рванёт к нему по кратчайшей. Расстояние от неё до берега - 3/4*R. Время, необходимое, чтобы добраться до берега - 3/(4*v)*R. Байкеру же придётся бежать полокружности - pi*R. Время, которое ему необходимо затратить - pi/(4*v)*R. Pi, слава Богу, пока ещё больше трёх, поэтому девушка благополучно слиняет :)

Примечание 1. Таким образом она сможет даже подобрать свои тапочки и одежду, если оставила их на берегу :)
Примечание 2. Той разницы, насколько Pi больше трёх должно хватить даже на покрытие погрешности, которую допустит блондинка, определяя центр озера.
Примечание 3. Нутром чую, что если говорить об "оптимальном" варианте, подразумевая под этим выбраться как можно раньше, чем прибежит байкер, то ей лучше немножко забирать в сторону он байкера во второй части квеста :)
Примечание 4. Уже написав всё это обратил внимание, что здесь много общего с решением Vanger'a (хотя я и не понял откуда у него взялась четверть окружности), но я привел расчёты :) Хотелось бы услышать мнение eruditor'a.

да дураку ясно:
Быстрее всего сделать так: внутри круга радисом 1/4 Р она плывет быстрее чем байкер по суше бежит. А проплыть три четверти Р ей преспокойно удастся быстрее чем ему. Ответ Жорика считаю верным :)

Поддерживаю!
Правильный ответ дан Жориком

вот правильное решение
чтобы убежать на макс. расстояние нужно начиная с расстояния R/4 от центра плыть по касательной к окружности радиуса R/4 с центром в центре озера (решается с помощью производной)

Окончательный ответ!
Плыть в противоположном направлении от байкера к (границе) окружности с радиусом R/4 и с центром в центре озера, удерживая на одной прямой байкера, центр озера и себя (получится спираль (или её часть)). Как только выплывет на границу, резко плыть по кратчайшему пути к берегу. 3R/4 < 3.14R/4 - расстояние, которое остаётся проплыть девушке, меньше расстояния, которое требуется пробежать байкеру, более чем в 4 раза...

Давайте посмотрим шире...
Она могла бы пустить плот по одному берегу, а сама быстро доплыть до другого берега и медленно окуратно без страха двинутся по нему, байкер увидет плот, а они же тупые как валенки. И вот он пойдёт спасать её так как подумает что она утонула а она в этот момент медленно укатит на его байке заберёт свои вещи, ну или просто убежит...

Вот ещё..
1) Ещё она может просто доплыть до места где её будет видно, и открыто поговорить с ним, сказать что она лесби или что уже жената, или что у неё спид. Ну или просто отмазаться сказав, что он не в ёё вкусе.

Длина плота
Ничего не сказано про длину плота, возможно если плот длинее половины радиуса окружности, то ей достаточно немного грести до берега, пока нос плота не уткнется в берег, а потом бежать по самому плоту, тем самым обогнав преследователя.

быстрее бегает
ведь она знала что может легко УБЕЖАТЬ от приследователя

Если считать диаметр водоема 100м, при лучшей тактике, девушка выиграет не меньше 29 м.

tomcat,
жжошь)! знаешь парадокс Зенена? пройдя половину пути останется еще половина, пройдя половину оставшейся части останется еще половина от нее и тд! короче нельзя пройти данный отрезок)! Зенен жжот)

Ну, сначала опишу стратегию, потом математику.
Девушке надо плыть в противоположную от байкера сторону. А по мере того, как он будет бежать по бегегу — опять в в противоположную от его текущего положения. Т.е. плыть надо по спирали.
Пока радиус спирали мал, это получится. Но при большом радиусе байкер будет за счет скорости догонять.
Значит нужно найти такой радиус, при котором их угловые скорости равны, а дальше уже плыть напрямую к берегу.
Получится ли? Посчитаем.
Пусть V- скорость девушки, R — радиус озера, r — искомый радиус.
Итак круг они пройдут за 2пR/4V (байкер) = 2пr/V (девушка)
Сокращаем, получаем R/4 = r.
В этой точке до бегега девушке останется 3/4 R (или 3*R/4), а байкеру пR
Соответственно доберутся они за время 3*R/(4V) и пR/(4V).
Сокращаем, получаем, что девушка доберется до берега за время 3 у.е., а байкер 3,14 у.е.
Успеет и ручкой помашет.

Эта задача кажется бездонной. Все бросились искать стратегию ее, девушки. Но ведь и у него, преследователя, тоже может быть своя стратегия. В исходном положении у него есть запас времени, когда можно не бежать, стоять на месте. До того момента, пока она не окажется на расстоянии 0,215R от центра озера. Что делать ей, если он будет стоять? В какую сторону плыть? Ей в этом случае нужно плыть прямо к берегу. Отсюда стратегия девушки простая: ей нужно приближаться к берегу, оставаясь с ним все время в оппозиции, т. е. на прямой линии, проходящей через центр. Как только она окажется на расстоянии 0,25R от центра озера (точка отрыва), ей нужно направиться к берегу по прямой. Ее максимальное преимущество перед ним 0,14R.

Для того, чтобы девушка (Д), двигаясь по кругу вокруг центре озера и оказалась на одной прямой, но с противо-положной стороны центра озера от байкера (Б), она свой круг должна проплывать в 2 раза быстрее, чем Б про-бежит свой круг (вокруг озера).
Т.к. скорость Б в 4 раза больше скорости Д, то путем нехитрых вычислений получаем, что радиус круга Д должен составлять 1/8 радиуса круга Б (т.е. радиуса озера).
Тогда, плывя в одном направлении Д проплывет свой круг, а Б за это время пробежит только ½ своего круга, т.е. они окажутся на одной прямой, но с противоположных сторон от центра озера.
В этот момент Д от этой точки до берега озера останется проплыть 3/4 радиуса озера, а Б пробежать 1/2 окруж-ности озера – pi*R.
Т.к. скорость Д в 4 раза меньше скорости Б, то делая несложные вычисления , получаем, что Д прибудет к берегу быстрее Б – грубо, для сравнения: Б прибежит через 3,14 (pi), а Д приплывет через 3.