Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

26. Девушка на плоту

Симпатичная девyшка решила искупаться и позагорать на озере Кругляк — искусственном водоеме, названном так за идеально кpyглyю форму. На девушку положил глаз местный байкер. Чтобы избавиться от назойливого поклонника, девyшка уплыла на плоту к центру озера, где ей удалось спокойно позагорать. Незадачливый байкер решил дожидаться на беpегy — рано или поздно ей все равно надо будет на берег, а поскольку я бегаю вчетверо быстрее, чем она гребет, мне удастся ее встретить в тот момент, когда плот причалит к беpегy, — рассуждал он. Попав в затруднительное положение, девyшка задумалась над тем как ей быть. Она знала, что на суше сумеет легко убежать от своего преследователя, а потому надо было разработать такую стратегию, которая позволила бы причалить к беpегy в точке, до которой не успеет добежать байкер.
Как ей для этого нужно направлять свой плот? Какова оптимальная траектория плота?
2006-11-23

Обсуждение


Задачи :: Девушка на плоту
↓↓ 0 ↑↑   eruditor.ru (100 / 206)   26 янв 2007 18:16   »»


Дополнение.
Желательно найти такую стратегию, которая позволит выбраться на берег с минимальными затратами времени.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   20 фев 2007 18:55   «« #2 »»   Ответить


грести подальше
думаю, следует мысленно провести прямую между положением байкера и девушке, и грести к точке пересечения этой прямой с противоположной от байкера стороной
↓↓ 0 ↑↑   Chaos (14 / 28)   04 мар 2007 15:39   «« #3 »»   Ответить


Так-то оно может и хорошо.
Но хотелось бы увидеть более строгое рассуждение.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   05 мар 2007 04:59   «« #4 »»   Ответить


ответ
начать двигаться в сторону от байкера.
но пи*радиус больше чем редиус в пи раз, а не в 4(поэтому число такое:-)
когда байкер побежит, плыть всё время в сторону от него,
↓↓ 0 ↑↑   sannya (0 / 17)   08 мар 2007 22:13   «« #5 »»   Ответить


кхе-кхе
Девушка находится в центре окружности. Ясно, что минимальное расстояние от центра до края окружности - это ее радиус - по нему то и надо двигаться. Проведем мысленную прямую через место, где находится байкер и центр окружности. Двигаться надо по этой прямой в сторону где нет байкера. Байкер движется по окружности, а длина этой окружности равна 2*Pi*R (Pi=3.14..., R - радиус озера). За то время, пока девушка доплывет до берега (преодолеет растояние R) байкер сможет преодолеть расстояние 4*R. Стоит отметить, что байкеру надо преодолеть расстояние не 2*Pi*R, а Pi*R (пол окружности), чтобы "догнать" девушку. А т.к. Pi*R<4*R (3,14R<4R), то байкер по любому достанет. Но я верю, что девушке весло поможет не берегу :)
↓↓ 0 ↑↑   EngineerX (0 / 6)   26 мар 2007 21:27   «« #6 »»   Ответить


e.g.
Можно, к примеру, плыть от центра по полуокружности,радиусом R/2, соединяющей центр озера и точку на берегу, начиная, конечно, в сторону от байкера. Тогда путь нашей подруги будет равен Pi*R/2, тогда как у байкера 3*Pi*R/4.
↓↓ 0 ↑↑   Ifinto (0 / 2)   30 мар 2007 17:54   «« #7 »»   Ответить


неа, догонит,хотя путь байкера будет 3/2 Pi*R а не 3*Pi*R/4. У байкера скорость выше в 4 раза!
Я думаю, быстрее всего будет так:
девушке надо выйти на "орбиту", где до берега по прямой будет L=Pi*R/4. При этом R1 "орбиты" почти в 5 раз меньше чем R (кто сомневается, может посчитать сам). Значит, угловая скорость девушки на этой "орбите" выше, чем у байкера,что легко позволит ей удерживать байкера и остров на одной линии.
По достижении "орбиты" и убедившись, что она и байкер на одной линии, проходящей через остров - прямиком к берегу иноги в руки!
↓↓ 0 ↑↑   САН (7 / 34)   02 апр 2007 16:46   «« #8 »»   Ответить


Девушка на раз уходит от этого невезучего байкера. Пусть "орбита убегания" - это маленький круг радиусом r, для которого выполняется условие: если девушка находится на этой орбите, а байкер - на противоположной стороне озера (радиус озера R), то девушка доплывает до берега быстрее байкера. Значит 4*(R-r) = ПR. (ПR - это столько бежать байкеру, R-r - плыть девушке). Отсюда r = R * (4-П) / 4 = 0.215*R. Теперь определим "орбиту обгона" - то есть круг радиусом m, внутри которого девушка плывет с угловой скоростью, большей, чем пробегает байкер. Грубо говоря, четыре длины окружности этой орбиты равны периметру озера. Расчеты опускаю, элементарно, что m = R/4 = 0.25 * R. Супер, все сходится! m > r ! Самый простой способ для девушки - начать движение от байкера, когда он побежит, то плыть все время от него, постепенно поворачивая. Ясно, что ей будет хватать времени и на движение "по окружности" (проходя тот же угол, что и байкер), и на движение к берегу (до достижения радиуса m). Ну, а когда она минует орбиту убегания r (притом, что байкер находится на диаметрально противоположном берегу) - смело можно грести по прямой.
↓↓ 0 ↑↑   FarFar (0 / 1)   05 апр 2007 17:56   «« #9 »»   Ответить


Господа, не забывайте, что это девушка...
... а не выпускник физтеха! Глупая девушка, которая уплыла от байкера на середину озера, устав загорать, будет думать не столько о своем назойливом поклоннике, а об оставленных на берегу тапочках!

Лихо орудуя веслом, девушка ломанется в сторону тапочек. Байкер побежит туда же, опережая девушку и думая: "Вот ты и попалась!" Глупая напуганная девушка резко поплывет в строго противоположную сторону. Байкер побежит вокруг озера.

Если у девушки чувство самомохранения развито не меньше, чем ее интеллект, то она должна прыгнуть в воду и доплыть до берега.

Кстати, а чего это байкер бегает, а не ездит на своем ТС? Загонял бы девушку до смерти...
↓↓ −4 ↑↑   Rна (-4 / 4)   05 апр 2007 18:36   «« #10 »»   Ответить


Уважаемый Rha!
Судя по вашему рассуждению и презрению к интеллекту девушек ваш интеллект не далеко ушёл от писываемой вами девушки! Извините )))
↓↓ +4 ↑↑   ЖОРИК (4 / 10)   06 июн 2007 11:23   «« #11 »»   Ответить


поправка к предыдущему
от интеллекта описываемой вами девушки
↓↓ 0 ↑↑   ЖОРИК (4 / 10)   06 июн 2007 11:24   «« #12 »»   Ответить


Девушка сможет убежать.
Сделаем так: внутри озера выделим круг с центром в центре озера и радиус этого круга в 4 разаменьше чем радиус озера: 4*р=Р. В этом круге Девушка сможет перемещаться быстрее, чем байкер вокруг озера (а на границе скорости равны). Значит девушка сможет занять положение на противоположной от центра стороне маленлького круга от байкера (байкер на берегу, центр озера и девушка находятся на одной линии и растояние между ними 4*р и р). Расстояние до берега 3*р. И девушка успевает: по суше надо пройти Р*Пи, а он пройдет 3*4*р=3*Р и это меньше Р*Пи.
↓↓ 0 ↑↑   ЖОРИК (4 / 10)   09 июн 2007 12:00   «« #13 »»   Ответить


плыть к точке, диаметрально противоположной той, в которой находится байкер, при этом разворачивая плот по спирали, "направление" которой совпадает с направлением пережвижения байкера. :)
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   15 июн 2007 08:54   «« #14 »»   Ответить


Согласен
Полностью согласен с последним решением, но хотелось бы уточнить. Т.е. девушка начинает плыть по прямой в сторону от байкера, далее смотрит в какую сторону он побежал и мысленно проводит прямую между собой и байкером и начинает плыть вдоль неё (опять же в сторону от байкера), т.е. траектория получается типа спирали.
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   19 июн 2007 10:53   «« #15 »»   Ответить


"Типа спирали"..
"Типа спирали" - это очень далеко от правильного ответа.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   19 июн 2007 13:05   «« #16 »»   Ответить


30 градусов
Проведем горизонтальную прямую чз центр озера и начинаем плыть от байкера. Пусть байкер побежал вправо, тогда девушка начинает плыть влево по прямой под углом в 30 гр. к прямой:
1. если байкер дальше продолжает бежать по окружности, то ему нужно пробежать до точки пересечения траектории пути девушки (2/3)*2*пи*R =4/3*пи*R, что больше 4R, в то время как девушка будет уже в этой точке, т.к. плыть ей < R (она изначально чуть проплыла вверх)
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   20 июн 2007 17:33   «« #17 »»   Ответить


далее..
..таким образом байкер ее не достанет,
(поправка: изначально полагаем, что байкер снизу, проще былоб нарисовать, но думаю, кто захочет, поймет)
2. Если байкер решит развернутся и бежать "по часовой стрелке", тогда девушка начинает двигаться вправо под углом 30 гр. к проведенной ранее прямой, очевидно, когда байкер достигнет своей начальной точки, расстояние мду ним и девушкой увеличится, далее девушка действует по той же схеме.
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   20 июн 2007 17:44   «« #18 »»   Ответить


типа спирали....
....абсолютно правильный ответ поскольку надо учитывать не тоьлко геометрию но и физику . попробуйте резко плот повернуть хоть на 30% я посмеюсь над вами не говоря уж о потере скорости. при движении по спирали байкер всегда должен быть за спиной у девушки и спираль может уложиться в обычный полукруг (считать надо - лень)
↓↓ 0 ↑↑   mishgun (0 / 5)   10 июл 2007 13:44   «« #19 »»   Ответить


мрак..
По-вашему, спираль и полукруг - это очень похожие геометрические объекты?
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (128 / 439)   10 июл 2007 18:36   «« #20 »»   Ответить


хмм..если он бегает в 4 раза быстрее..то девушка должна почти доплыть до места куда он прибежал, потом развернуться и начать плыть в другую сторону.тем временем байкер прибежит туда,откуда убегал. девушке останется проплыть всего 1/2R к берегу. байкер вроде должен не успеть...похоже ваще на решение?
↓↓ 0 ↑↑   ikk (0 / 1)   17 дек 2007 18:14   «« #21 »»   Ответить


Ikk'u
Да. Похоже. Единственно, что для этого байкер должен быть тупым. Но и все другие тут предлагаемые мего-физические решения тоже подрузамивают тупость байкера.
То как вы решаете, ей достаточно будет отплыть всего чуть-чуть, а не 1/2R, ведь главное добратся до земли, а на каком расстоянии будет байкер - не важно ,лишь бы не достал...
↓↓ 0 ↑↑   Enclave (3 / 140)   18 дек 2007 03:12   «« #22 »»   Ответить


Почему у байкера нет байка???
↓↓ 0 ↑↑   blackhawk (0 / 1)   07 апр 2008 21:24   «« #23 »»   Ответить


загорайте на байдарке, она быстрее :-)
Отдохнувшая мадемуазель гребёт все время в противоположном от байкера направлении, двигаясь по окружности радиусом вчетверо меньше радиуса озера (и с центром, смещённым от центра озера тоже на четверть радиуса озера); в тот момент, когда байкер пробежит четверть окружности озера,девушка (которая проплывёт тоже четверть своего маленького круга) начинает двигаться строго по прямой (которая через байкера и плот проходит; т.е. девица перестаёт поворачивать плот и гребёт тупо прямо). Если я не запутался в подсчетах, байкер таки чуть-чуть за ней не успевает :-)
↓↓ 0 ↑↑   Vanger (0 / 7)   20 июн 2008 08:34   «« #24 »»   Ответить


Догонит во всех трех вариантах решения до которых я додумался.
не важно сколько окружностей вписать, девушка не сможет постоянно двигаться в противоположним от байкера направлении по радиусу вписаных окружностей, небольшого расстояния всегда будет не хватать, за счет него и догонит.
↓↓ 0 ↑↑   tomcat (0 / 7)   03 окт 2008 10:40   «« #25 »»   Ответить


я читал выше написанное :-) просто другой способ проверки
Лично я решал через время, которое понадобится байкеру и девушке, чтобы добраться до берега... Можно представить, что байкер находиться в нижней точке. Девушка начинает движение в противоположную сторону... Предположим байкер бежит вправо. Девушка начинает двигаться по окружности с радиусом в r/2 в левую сторону, тогда получиться, что ей надо пройти путь (pi*r/2), а байкеру (3/4*2*pi*r), зная что скорость девушки v и ск. байкера 4v можно сравнить время затраченное на их перемещения к предпологаемой точкой пересечения траектории плота с берегом. 1. время девушки: tg=(pi*r/2)/v; 2. время байкера: tb=(3/2*pi*r)/(4*v). После недолгих вычислений получаем, что отношение времени затраченного на прибытие в "конечную" точку 4/3. При чем 4 для девушки, т.е. байкер там будет раньше. Решение ifinto не верно... Эрудитор так и не утвердил ответ Фар-фара, но он вроде верный.
P.S.: я новенький на этом празднике жизни, так что не издевайтесь, что ответу оброс бородой ^_^
↓↓ 0 ↑↑   FoG (0 / 6)   31 окт 2008 17:39   «« #26 »»   Ответить


Если вы не знаете что делать остается расслабиться и получать удовольствие.
↓↓ −4 ↑↑   BuBBa (1 / 12)   07 ноя 2008 02:44   «« #27 »»   Ответить


Таки всё просто (относительно :)
Задачу блондинки разбиваем на 2 подзадачи:
1. Оказаться как можно ближе к берегу, при этом центр озера, она сама и байкер должны оказаться на одной прямой.
2. Плыть, как можно быстрее к берегу.
1. Ясно, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы угловая скорость блондинки была больше или равна угловой скорости байкера. Пусть радиус озера R, расстояние от центра озера до блондинки - r. Оба двигаются по дуге окружности. Путь, который проходит байкер за время t - alpha*R, путь блондинки за это же время - alpha*r. Скорость блондинки - v, скорость байкера - 4v. Имеем: alpha*R/4v=alpha*r/v. Отсюда - r=R/4. То есть блондинка находясь в четверти радиуса от центра озера легко держится так, чтобы центр озера лежал на прямой между ней и байкером.
2. Теперь, когда блондинка зашла так далеко в своих начинаниях, проверим, успеет ли она пристать к берегу, если рванёт к нему по кратчайшей. Расстояние от неё до берега - 3/4*R. Время, необходимое, чтобы добраться до берега - 3/(4*v)*R. Байкеру же придётся бежать полокружности - pi*R. Время, которое ему необходимо затратить - pi/(4*v)*R. Pi, слава Богу, пока ещё больше трёх, поэтому девушка благополучно слиняет :)

Примечание 1. Таким образом она сможет даже подобрать свои тапочки и одежду, если оставила их на берегу :)
Примечание 2. Той разницы, насколько Pi больше трёх должно хватить даже на покрытие погрешности, которую допустит блондинка, определяя центр озера.
Примечание 3. Нутром чую, что если говорить об "оптимальном" варианте, подразумевая под этим выбраться как можно раньше, чем прибежит байкер, то ей лучше немножко забирать в сторону он байкера во второй части квеста :)
Примечание 4. Уже написав всё это обратил внимание, что здесь много общего с решением Vanger'a (хотя я и не понял откуда у него взялась четверть окружности), но я привел расчёты :) Хотелось бы услышать мнение eruditor'a.
↓↓ 0 ↑↑   -V@Ndal- (7 / 31)   27 дек 2008 04:54   «« #28 »»   Ответить


да дураку ясно:
Быстрее всего сделать так: внутри круга радисом 1/4 Р она плывет быстрее чем байкер по суше бежит. А проплыть три четверти Р ей преспокойно удастся быстрее чем ему. Ответ Жорика считаю верным :)
↓↓ 0 ↑↑   Красавчик (0 / 12)   07 мар 2009 13:56   «« #29 »»   Ответить


Поддерживаю!
Правильный ответ дан Жориком
↓↓ 0 ↑↑   IronBoy (0 / 1)   14 мар 2009 21:18   «« #30 »»   Ответить


вот правильное решение
чтобы убежать на макс. расстояние нужно начиная с расстояния R/4 от центра плыть по касательной к окружности радиуса R/4 с центром в центре озера (решается с помощью производной)
↓↓ 0 ↑↑   vladm2409 (0 / 3)   29 мар 2009 20:58   «« #31 »»   Ответить


Окончательный ответ!
Плыть в противоположном направлении от байкера к (границе) окружности с радиусом R/4 и с центром в центре озера, удерживая на одной прямой байкера, центр озера и себя (получится спираль (или её часть)). Как только выплывет на границу, резко плыть по кратчайшему пути к берегу. 3R/4 < 3.14R/4 - расстояние, которое остаётся проплыть девушке, меньше расстояния, которое требуется пробежать байкеру, более чем в 4 раза...
↓↓ 0 ↑↑   Andrey Pivnenko (0 / 6)   09 ноя 2009 00:42   «« #32 »»   Ответить


Давайте посмотрим шире...
Она могла бы пустить плот по одному берегу, а сама быстро доплыть до другого берега и медленно окуратно без страха двинутся по нему, байкер увидет плот, а они же тупые как валенки. И вот он пойдёт спасать её так как подумает что она утонула а она в этот момент медленно укатит на его байке заберёт свои вещи, ну или просто убежит...
↓↓ 0 ↑↑   QWE321654 (0 / 17)   11 авг 2010 19:52   «« #33 »»   Ответить


Вот ещё..
1) Ещё она может просто доплыть до места где её будет видно, и открыто поговорить с ним, сказать что она лесби или что уже жената, или что у неё спид. Ну или просто отмазаться сказав, что он не в ёё вкусе.
↓↓ 0 ↑↑   QWE321654 (0 / 17)   11 авг 2010 19:55   «« #34 »»   Ответить


Длина плота
Ничего не сказано про длину плота, возможно если плот длинее половины радиуса окружности, то ей достаточно немного грести до берега, пока нос плота не уткнется в берег, а потом бежать по самому плоту, тем самым обогнав преследователя.
↓↓ 0 ↑↑   Сергей Сергеевич (0 / 3)   30 ноя 2010 14:59   «« #35 »»   Ответить


быстрее бегает
ведь она знала что может легко УБЕЖАТЬ от приследователя
↓↓ 0 ↑↑   Сергей Сергеевич (0 / 3)   30 ноя 2010 15:04   «« #36 »»   Ответить


А задачка-то - весёлая! Точнее, тут надо поменять условие и задать требуемую дистанцию. Максимальное решение - не очевидное, и очень интересное! Ж-)
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   11 дек 2010 22:57   «« #37 »»   Ответить


Если считать диаметр водоема 100м, при лучшей тактике, девушка выиграет не меньше 29 м.
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   12 дек 2010 22:54   «« #38 »»   Ответить


tomcat,
жжошь)! знаешь парадокс Зенена? пройдя половину пути останется еще половина, пройдя половину оставшейся части останется еще половина от нее и тд! короче нельзя пройти данный отрезок)! Зенен жжот)
↓↓ 0 ↑↑   lavsvip (-124 / 40)   28 авг 2011 18:58   «« #39 »»   Ответить


Ну, сначала опишу стратегию, потом математику.
Девушке надо плыть в противоположную от байкера сторону. А по мере того, как он будет бежать по бегегу — опять в в противоположную от его текущего положения. Т.е. плыть надо по спирали.
Пока радиус спирали мал, это получится. Но при большом радиусе байкер будет за счет скорости догонять.
Значит нужно найти такой радиус, при котором их угловые скорости равны, а дальше уже плыть напрямую к берегу.
Получится ли? Посчитаем.
Пусть V- скорость девушки, R — радиус озера, r — искомый радиус.
Итак круг они пройдут за 2пR/4V (байкер) = 2пr/V (девушка)
Сокращаем, получаем R/4 = r.
В этой точке до бегега девушке останется 3/4 R (или 3*R/4), а байкеру пR
Соответственно доберутся они за время 3*R/(4V) и пR/(4V).
Сокращаем, получаем, что девушка доберется до берега за время 3 у.е., а байкер 3,14 у.е.
Успеет и ручкой помашет.
↓↓ 0 ↑↑   Andy117 (0 / 3)   27 сен 2013 13:36   «« #40   Ответить



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2017   Авторы