Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

83. Замощение квадрата

У вас есть неограниченное количество одинаковых прямоугольных треугольников с углами 30° и 60°.

Вопрос: Можно ли составить из них квадрат?
2008-04-22

Обсуждение


Задачи :: Невозможный квадрат?..
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   29 авг 2008 17:10   »»


Пусть меньшая сторона треугольника равна 1. Тогда площадь треугольника будет sqrt(3)/2. Если их пойдет n, то площадь квадрата будет nsqrt(3)/2, а сторона - sqrt(nsqrt(3)/2). C другой стороны, эта сторона будет состоять из отрезков длиной 1,2,sqrt(3). Итак, осталось доказать, что уравнение sqrt(nsqrt(3)/2)=a+bsqrt(3) не имеет целых положительных решений кроме нулей. Возводя в квадрат, получим nsqrt(3)/2=a^2+3b^2+2absqrt(3), откуда a^2+3b^2=0, a=b=0.
↓↓ 0 ↑↑   vlad239 (0 / 8)   22 апр 2008 20:55   «« #2 »»   Ответить


Отличное решение
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (129 / 439)   22 апр 2008 21:19   «« #3 »»   Ответить


конечно, можно
есть такое понятие как наименьшее общее кратное))) всё несколько проще. При сложении 2х треугольников получается прямоугольник. А тут в ход идёт НОК
↓↓ 0 ↑↑   melvit (0 / 3)   03 ноя 2009 18:15   «« #4 »»   Ответить


ха-ха
треугольники прямоугольные значит при их сложении сложении получится прямоугольник т.к. один угол равен 90 градусов как у квадрата
а сумма двух других 30 и 60 образуют 90 градусов то есть 30+60=90=)))
квадрат получить нельзя
его можно получить при сложении вдух треугольников с углами 90,45,45 градусов
↓↓ 0 ↑↑   toro (-4 / 16)   09 мар 2010 19:59   «« #5 »»   Ответить


toro
а склоько углов у треугольника?! так вод в сумме они должны давать 180 градусов =>30+60=90 и третий угол =90...
↓↓ 0 ↑↑   помпарам (0 / 5)   05 сен 2010 08:57   «« #6 »»   Ответить


конечно, можно & re xa-xa... очень даже возможный))))
так зато треугольников неограниченное количество. 2 дают прямоугольник, а из прямоугольников легко комбинируется квадрат, особенно, если взять египетский треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5: получаем прямоугольник 3х4, и складываем прямоугольники следующим образом:
__ __ __
I__II__II__I
I__II__II__I
I__II__II__I
I__II__II__I

т.е. 3х4 или 4х3, смотря откуда смотреть%))))если складывать торцами (сторонами по 3), то 3 в одном ряду и 4 в столбце. о чем и говорил melvit.
↓↓ 0 ↑↑   erendira (0 / 5)   08 сен 2010 07:47   «« #7 »»   Ответить


извините, если не научно, зато наглядно... не считая съехавшей "крышечки" %)))))
↓↓ 0 ↑↑   erendira (0 / 5)   08 сен 2010 07:49   «« #8 »»   Ответить


прошу прощения, была невнимательной, там углы другие....
↓↓ 0 ↑↑   erendira (0 / 5)   11 сен 2010 01:55   «« #9 »»   Ответить


Возможно при любых углах
↓↓ 0 ↑↑   Евгений (-5 / 7)   31 авг 2016 22:24   «« #10 »»   Ответить


Ну давайте рассуждать, для начала сделаем из двух таких треугольников прямоугольник, теперь выведем некое соотношение катетов из всем известного соотношения Пифагора, известно , что катет лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, пусть гипотенуза = x,
тогда катет будет равен 1\2*х, второй катет пусть будет равен y, тогда получим уравнение : (1\2*х)^2+y^2=x^2 ; 1\4*x^2+y^2=x^2 ; y^2 = 3\4*x^2
теперь мы знаем некое соотношение катетов , один из них равен 1\4*x^2 , а другой 3\4*х^2, х^2 общая часть нам не к чему, осталось найти такие целые числа A и B , чтобы выполнялось : 1\4*A = 3\4*B, и очевидно таких чисел бесконечность, например A=3, B=1.
↓↓ 0 ↑↑   Марк Мурадян (0 / 10)   05 сен 2016 16:48   «« #11 »»   Ответить


√3/2 — иррациональное число, а 1/2 — рациональное.
Это значит, что квадрат не собрать.
↓↓ 0 ↑↑   Арташес (0 / 3)   30 дек 2016 01:14   «« #12   Ответить



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2017   Авторы