Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

36. Сумма ряда

Рассмотрим сумму чисел
1+2+4+8+16+…
Давайте посчитаем, чему эта сумма равна
x=1+2+4+8+16+…
x=1+2(1+2+4+8+…)
x=1+2x
x=-1
Вот так. Сумма положительных чисел оказалась равна –1. Где ошибка?
Прим. ред.
Одна из немногих задач, которые хорошо подходят для собеседования преподавателей. Важно тщательно проанализировать решение и объяснить, в каком конкретно действии допущена ошибка, и в чём она заключается.
2006-11-23

Обсуждение


Задачи :: Сумма ряда
↓↓ 0 ↑↑   eruditor.ru (92 / 197)   26 янв 2007 18:32   »»


где выносили 1+2
↓↓ 0 ↑↑   *ТомчеГ* (0 / 5)   05 мар 2007 20:15   «« #2 »»   Ответить


Нет.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   05 мар 2007 22:43   «« #3 »»   Ответить


Может ошибка в том в что мы считали бесконечности обычными числами?
↓↓ 0 ↑↑   Super (0 / 19)   06 мар 2007 19:35   «« #4 »»   Ответить


Фантазия на заданную тему
Ничего удивительного. Известно, что бесконечная сумма k-ых степеней числа x (от 0 до +inf) сходится к функции f(x)=1/(1-x) при всех -1<x<1. Формально при х=2 мы получаем значение суммы -1(имеем право, т.к. эта функция может быть аналитически продолжена и определена на всей комплексной плоскости, а тем более действительной оси единственным образом).
Вот ещё пример такого парадоксального (на первый взгляд) результата:
1+2+3+4+....=-1/12))))
↓↓ 0 ↑↑   vova_cmc (8 / 7)   07 мар 2007 00:34   «« #5 »»   Ответить


ответ
бесконечность- не число, автор(eruditor), хоть говори правильно или нет
↓↓ 0 ↑↑   sannya (0 / 17)   08 мар 2007 22:24   «« #6 »»   Ответить


если x-бесконечность, то как может быть 2x? o_0 (2 бесконечности)
↓↓ 0 ↑↑   KASKADER (4 / 19)   08 мар 2007 23:25   «« #7 »»   Ответить


Бесконечность - не число, конечно.
Хорошо, переформулирую задачу так.
Представьте, что вам это решение написал школьник.
И ваша задача - объяснить школьнику на доступном ему языке, где тут ошибка.
Причем, объяснить так, чтобы у него не осталось никаких сомнений в вашей правоте.
Философские рассуждения в духе "бесконечность - не число" тут не годятся.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   14 мар 2007 19:15   «« #8 »»   Ответить


Может так:
Смотри щкольничек: у нас тут большое очень число (321,4 миллион миллионов милиардов тысяч миллионов например) и если мы вынесем из него 2 как множитель то оно не изменится и то же самое если мы прибавим к нему 1 оно тоже не изменится. Поэтому нельзя выносить 2 из этого числа, понял? И прибавлять 1 тоже нельзя, понял? И уж тем более вычитать его из другого такого числа, понял, нельзя. Еще раз увижу то придешь с родителями к директору, понял? И потом они уже будут дома объяснять что так как ты написал делять нельзя,понял?
↓↓ 0 ↑↑   Super (0 / 19)   16 мар 2007 12:33   «« #9 »»   Ответить


Горе от ума.
Всё очень просто.Не важно бесконечно или конечно,делимо или нет и т.д. и т.п.Важно то что за "х" приняли отдельную часть уравнения.Всё бы ничего,но в левой части уравнения стоит (вы не поверете!) такой же "х".
вот если бы вместо скобок написали , "У"к примеру,то можно было бы хотябы функцию отобразить на графике и исследовать её))))))
↓↓ 0 ↑↑   школьник (0 / 2)   03 апр 2007 02:01   «« #10 »»   Ответить


Все дело в последнем члене ряда!!!
Ошибка во второй строке. Из которой следует ошибка в третьей строке.
Правильный вид:
х=1+2+4+8+16+...+2^n;
x=1+2(1+2+4+8+...+2^(n-1)-2^n);
x=1+2(x-2^n);
x=(2^n)-1
↓↓ 0 ↑↑   Пьяный Мастер (0 / 9)   18 апр 2007 09:29   «« #11 »»   Ответить


Условие читали?
Там сумма - бесконечная. А не от 0 до n.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   18 апр 2007 10:14   «« #12 »»   Ответить


У меня ошибка в последней строке
Правильная формула: х=2(2^n)-1, где n изменяется от нуля до бесконечности
↓↓ 0 ↑↑   Пьяный Мастер (0 / 9)   20 апр 2007 05:35   «« #13 »»   Ответить


Если школьнику и на пальцах
Сумма ряда х=Е2^n, где n от 0 до беск. (Е -значек суммы)
х=1+Е2^n, где n от 1 до беск.
х=1+2Е2^(n-1), где n от 1 до беск.
так вот если на пальцах школьнику Е2^(n-1) не равно х т.к. х=Е2^n
↓↓ 0 ↑↑   Balamut (0 / 14)   08 май 2007 14:25   «« #14 »»   Ответить


Изначально вынесли не правильно
х=1+2+4+8+16+...+n, далее с какого перепуга числовому ряду присвоена литера "х"? тогда уж у, z, g... да хоть грибом назови или просто переменная. А вообще то по привычке школы фунцию обично через "игрег" обезначали "у" вот и запутали мальца двумя иксами "вымышленного школьника", от та по привычке справа свел уровнение к "х" неизвестной. Мое мнение.
↓↓ 0 ↑↑   Volo_dt (2 / 7)   20 июн 2007 08:53   «« #15 »»   Ответить


помоему так:
сумма 1+2+4+8+16+… равна сумме 1+2+4+8+… так как это одно и тоже.
Ошибка в строчке x=1+2(1+2+4+8+…),
так как у школьника получилось, что 1+2+4+8+16+… = 1+2(1+2+4+8+16…)
а это и есть ошибка
↓↓ 0 ↑↑   oleg_1 (0 / 7)   22 июн 2007 12:47   «« #16 »»   Ответить


вобще это парадокс бесконечных величин!
и если объяснять это школьнику, то на примере другой задачи: В гости пришло бесконечное множество гостей, сняло бесконечное множество шляп! а когда гости уходили то одна шляпа осталась (все гости ушли в шляпах), не трудно догадаться что первый надел шляпу второго, второй третьего, третий четвертого, и т.д... до бесконечности.
↓↓ 0 ↑↑   куч (0 / 7)   26 июн 2007 10:17   «« #17 »»   Ответить


Да нет, не совсем.
Вот если бы оказалось, что гости одели всего -1 шляпу, и все оказались ошляпленными -- это было бы да...
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   26 июн 2007 13:30   «« #18 »»   Ответить


йопть
написано же: x=1+2+4+8+16+…
далее: x=1+2(1+2+4+8+…)
во второй строке выражение в скобках можно заменить на x из первой строки, т.к. там написано одно и то же. отсюда х=-1. здесь и ошибка.
↓↓ 0 ↑↑   KuZneC (0 / 5)   17 июл 2007 10:09   «« #19 »»   Ответить


Ряды
Ну, так же и с рядом 1-1+1-1+1...все зависит от постановки скобок:(1-1)+(1-1)+..сумма ряда равна нулю.
. Если так: 1-(1-1)+... - единице.
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (0 / 130)   31 июл 2007 21:36   «« #20 »»   Ответить


Не ряды.
Между знакопеременными рядами и знакопостоянными -- большая разница.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   31 авг 2007 00:07   «« #21 »»   Ответить


Исправляем ошибки!!
Итак мы принимаем что,x=1+2+4+8+16+…
Выносим 2 1+2(1+2+4+8+…) согласен
тогда
x=1+2(1+2+4+8+…)
а здесь покрайней мере так
x=1+2x/2
и тогда
0=1
чего быть не может соответственно в строчке x=1+2x ошибка так писать не льзя
↓↓ 0 ↑↑   MoonHamster (0 / 1)   03 сен 2007 15:21   «« #22 »»   Ответить


Бред какой-то...
Кто-нибудь понял MoonHamster?..
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   03 сен 2007 19:03   «« #23 »»   Ответить


Ну...
ежели даже eruditor не понял, то куда нам, простым смертным :)
↓↓ 0 ↑↑   Zero (33 / 335)   03 сен 2007 23:06   «« #24 »»   Ответить


Объяснение для школьника.
1) x=1+2+4+8+16+…
2) x=1+2(1+2+4+8+…)
3) x=1+2x
Вот здесь кроется ошибка, ибо (1+2+4+8+…) в правой части уравнения мы должны представить в виде:
(x-1)/2 (отняли, фактически, от начальной суммы 1, а затем разделили на 2).
Тогда получаем: х=1+2(х-1)/2 или 0=0
↓↓ +5 ↑↑   МАВР (5 / 19)   18 дек 2007 14:40   «« #25 »»   Ответить


1+2+4... И есть этот самый X (бесконечность). И хоть бесконечность - это бесконечность, но отняв от неё что нибудь это будет уже не та бесконечность (тем более в уравнении). МАВР првильно написал уравнение. Помните, что одна бесконечность не обязательно равна другой бесконечности, а объяснить школьнику можно так: Чисел - бесконечное кол-во, примеров тоже бесконечное число, но бесконечное число примеров больше, так как содержит в себе все комбинации чисел. (1+2, 2+1, 1+1+2.... и т.д.)
↓↓ 0 ↑↑   Enclave (3 / 140)   19 дек 2007 15:10   «« #26 »»   Ответить


Иррациональное выражение
Бесконечность не отнимается от бесконечности, так нельзя делать, ошибка в последнем преобразовании, сначало нужно избавиться от иррациональности, и тогда все будет гут
↓↓ 0 ↑↑   Zloy (0 / 69)   24 дек 2007 20:44   «« #27 »»   Ответить


Надеюсь, сам понял что сказал ;)
↓↓ 0 ↑↑   Enclave (3 / 140)   25 дек 2007 05:21   «« #28 »»   Ответить


По-моему елементарно в обьяснении,просто нужно y=1+2x т.к. х справа не равен х слева
↓↓ 0 ↑↑   davchik (0 / 3)   11 апр 2008 16:51   «« #29 »»   Ответить


Хахаха ). Enclave, как это не смешно, но "примеров" вида 1+2, 2+1, 1+1+2 и т.д. (т.е. суммы целых чисел) совсем не больше, чем чисел (действительных).
Мне и самому интересно разобраться в этом факте. Вполне очевидно, что их точно не больше чем континуум (т.е. мощности R - действительных чисел). Скорее всего их (примеров) счетно (т.е. "столько же" сколько натуральных чисел, т.е. формально "меньше", чем действительных чисел).
Хочу отметить, что понятия "столько же" и "меньше" - "больше" это не просто размахивания руками. Они строго формализованы. То, что |N| < |R|, строго доказано в принятых определениях. Уверен, что для большинства написанное не секрет, но хотелось бы сразу предотвратить множество несуразных вопросов.
Теперь по поводу количества "примеров". Попробуем доказать, что их счетно.
Действительно, рассмотрим "примеры", содержащие n слагаемых. Каждый такой пример однозначно соответствует вектору длины n над N (примеру 1+4+5+3 соответствует (1, 4, 5, 3) ). Т.е. мощность множества "примеров" совпадает с мощностью n-ой декартовой степени N. Доказано, что |N^n| = |N|.
Далее, множество "примеров", это объединение множеств примеров с n слагаемыми, где n меняется от 1 до бесконечности.
Доказано, что счетное объединение счетных множеств - счетно. Таким образом, получаем, что наше множество примеров - счетно. Ч.т.д.

Получается, что примеров меньше, чем чисел (если ты подразумевал действительные числа) или по крайней мере столько же (если подразумевались натуральные (целые, рациональные) ).
↓↓ 0 ↑↑   LerTush (0 / 21)   06 май 2008 23:25   «« #30 »»   Ответить


По поводу задачи.
Она оказалось не такой простой, как показалось на первый взгляд. Действительно, почему именно -1? Причем заметьте, что уравнение можно составить разными способами:
x = 1+2x; x=1+2+4x; x=1+2+4+8x; и т.д. Но везде решение x=-1. Не считая, конечно, "решения" x = бесконечности. Мне было бы очень интересно понять связь.

А если поиграться с символами, то вообще можно получить нонсонс ):
x = 1+2x => 1 = 1/x + 2. Даже если обозначить через x - n-ая частичная сумма ряда, то устремив n в бесконечность получим 1 = 2. Но тут, конечно, уже чисто техническая уловка, о которой упомянул Пьяный Мастер.

Кстати, очень понравился подход vova_cmc. Действительно, для ряда: x "=" 1+d+d^2+... "уравнение" будет x = 1+dx, т.е. x = 1/1-d. Жаль, что прошло уже столько времени и он вряд ли сможет обяснить свой пример с гармоническим рядом.

И вообще, такие рассуждения могут еще и помочь быстро вспомнить формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии людям, которым приходится постоянно ее выводить, в силу непонятной забывчивости ).
↓↓ 0 ↑↑   LerTush (0 / 21)   06 май 2008 23:54   «« #31 »»   Ответить


LerTush
Прочитав первое предложение ,понял что дальше эту чушь читать не буду... Если в школе учили только 1+2, 2+1 и т.д., то я тут помочь не смогу...
↓↓ 0 ↑↑   Enclave (3 / 140)   07 май 2008 00:21   «« #32 »»   Ответить


Enclave, разве я тебя чем-нибудь обидел? Мне просто показалось интересным обратить внимание на то, как обманчива может быть наша интуция, когда дело касается бесконечности. Не более чем очередной пример из серии: каких чисел больше - чисел 1 2 3 4 ... или только четных 2 4 6 ...?
А то, неразобравшись, сразу "чушь". Невесело.
↓↓ 0 ↑↑   LerTush (0 / 21)   07 май 2008 11:57   «« #33 »»   Ответить


Ну и чего больше, чисел 1, 2, 3... или только чётных? Помоему очевидно что всех чисел больше, чем только чётных, так как все итак включают в себя чётные.
Вот и с примерами также, они включают все цифры, так что их очевидно больше...
Мне не нравится, когда люди ошибаются, говорят бред (например известное доказательство что 2+2=5, или что 4=2, естественно это шутка, но некоторые...) и выдают это за гениальность.
Да и вообще вся эта ерунда по поводу того что параллели пересекаются и углы треугольников могут быть меньше или больше 180° и иже с этим, честно говоря сидит уже в одном месте...
Кстате ни одна физическая формула не точна на 100%, так как не учитывает одновременно всё что происходит: давление людей на землю, влажность воздуха, плотность воздуха, магнитные поля и т.д., а только самое основное из этого.
↓↓ 0 ↑↑   Enclave (3 / 140)   07 май 2008 13:13   «« #34 »»   Ответить


Хм. Enclave, если тебе действительно интересно, почитай совсем небольшую статью о мощностях множеств: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%89%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0
Это отнюдь не софистика из разряда 2+2=5. Это общепринятый способ работы с бесконечными множествами. Утверждения, на которые я опирался: |N^n| = |N|, объединение счетных множеств - счетно, |N| < |R| и неявно на т. Бернштейна и другие - оформлены в виде теорем в курсе классического математического анализа.

p.s. Думаю ответ на вопрос о том, что "больше": |N| или |2N| - станет для тебя очевидным, так как ты без труда сумеешь построить биекцию между этими множествами.
↓↓ 0 ↑↑   LerTush (0 / 21)   07 май 2008 14:23   «« #35 »»   Ответить


если на уровне пятого класса...
ошибка делается при вынесении двойки за скобки.Чтобы вынести её - сначала надо привести все слагаемые к общему знаменателю - 2.Первое слагаемое - два - это четыре вторых, 4 - это восемь вторых, 8 - это шестнадцать вторых и т.д. Тоесть, после вынесения двойки выражение принимает вид 2(4+8+16+32+...)
↓↓ 0 ↑↑   polk (0 / 1)   27 мар 2009 04:37   «« #36 »»   Ответить


здесь всетаки- парадокс бесконечных величин.
Я не понял почему eruditorне понравилось доказательство КУЧ ведь нельзя из бесконечных чисел вычетать и прибавлять конечные, и при этом записывать уравнения!!!
Думаю обычный школьник это легко поймет!!
даже на примере:
бескон= бескон
Бескон + 37.5= Бескон
37.5=0
...
↓↓ 0 ↑↑   Givchik3316 (0 / 31)   10 авг 2009 00:36   «« #37 »»   Ответить


Мой вариант
Полагаю, что ошибка кроется в переходе от выражения x=1+2x к x=-1. И ошибка эта заключается в том, что x - это не число, а расходящийся ряд. Правила умножения и сложения чисел и рядов различны. Мы можем сложить или вычесть два ряда только при условии, что оба они сходящиеся. Т.к. это условие не выполнено для x, то проиводить вычитание 2x-x нелегально.

Замечу также, что школьник не обладает богатыми базовыми знаниями в области математического анализа, в силу чего не каждая задача может быть ему объяснена в двух словах.
↓↓ 0 ↑↑   Leonid (0 / 1)   18 май 2010 23:20   «« #38 »»   Ответить


2 Leonid
Суть высказана верно. Но нужно отметить, что для понимания некорректности операции 2х-х=х вовсе не нужно знать мат. анализ. О том, что бесконечность - не число, знают все школьники. И о том, что при сложении и вычитании бесконечностей получается ерунда - тоже все знают.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (86 / 438)   20 май 2010 02:57   «« #39 »»   Ответить


эрудиту
после того как ты напиал "кто нить понял его?" я перестал читать и решил сразу написать ответ! может его уже писали! там идет то "х=1+2(....)" нужно просто поставить скобки и вокруг 1+2 так как это полное выражение а не только двойка умножается на ту бесконечность! если я ошибся то эрудит явно что нить мне ответит)
↓↓ 0 ↑↑   lavsvip (-124 / 40)   18 окт 2010 08:59   «« #40 »»   Ответить


Простите Эрудит...
...Но в данном случае, кажется рано говорить со школьником о "бесконечностях и рядах" - он до таких ошибок, ещё не дорос. Достаточно предложить ему поставить утверждение (3) на первое место и спросить - стоит ли рассуждать дальше? После чего наставительно заметить "В математике все утверждения должны иметь смысл сами по себе, не зависимо от их порядка. Если утверждение само по себе бессмысленно - значит оно не верно. Порядок утверждений, означает лишь порядок рассуждений самого математика..."
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   26 ноя 2010 03:20   «« #41 »»   Ответить


Уточнение/поправка: Утверждения (3,4) с утверждениями (1,2) никак не согласуются, если их поменять местами.
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   26 ноя 2010 03:27   «« #42 »»   Ответить


И да: "x = 1 + 2*x" вполне законно. Сама по себе, не законна пара (2,3)...
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   26 ноя 2010 03:34   «« #43 »»   Ответить


Ох, спать пора... (2,3) то же катит. Берём (3), приходим к (4), и не можем ввести (1). Вот как-то так...
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   26 ноя 2010 03:41   «« #44 »»   Ответить


...Эдакий, вариант объяснения для школьника от очень утомлённого учителя, получился. Ж-)
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   26 ноя 2010 03:47   «« #45 »»   Ответить


х=(1+2)(1+4+16)-верная строка
В решении же х=(1+2)(1+2+4...)
↓↓ 0 ↑↑   Dimqe (0 / 19)   15 май 2011 13:26   «« #46 »»   Ответить


разобьем всю сумму на отдельные суммы
х=(1+2)+(4+8)+(16+32), теперь вынесем (1+2)
х=(1+2)*(1+4+16)

вот так то)
↓↓ 0 ↑↑   Dimqe (0 / 19)   15 май 2011 13:29   «« #47 »»   Ответить


томчеГ был прав)
↓↓ 0 ↑↑   Dimqe (0 / 19)   15 май 2011 13:31   «« #48 »»   Ответить


в квантовой теории поля возможно и не такое :-)
а чему равна, по-вашему, сумма:

1+2+3+4+...+... до бесконечности?

Ответ: -1/12!
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_...

Этот факт блестяще подтвержден экспериментально при наблюдении т.н. "эффекта Казимира"
http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect

Вы все еще верите в квантовую теорию поля? ;-)
↓↓ +4 ↑↑   Роман (4 / 8)   21 июн 2011 15:25   «« #49 »»   Ответить


хех) а я оказывается такую чушь написал! а вот овтет смотрим вниз)
суть в том что между "x=1+2x" и "x=-1" отсудствует еще одна строка)) которая все и разъяснит!) допишем?
"х-2х=1" а теперь разложим на числа которые довали) "(1+2+4+8...)-(2+4+8+16...)=1" а теперь достаточно выкинуть единицу нахрен из скобок (хотя можно и не выкидывать!) и так уже видно что левая бесконечность на единицу больше правой. собственно единица правой бесконечности осталась справа)) вот и будет "1=1") всем спасибо)
↓↓ 0 ↑↑   lavsvip (-124 / 40)   28 авг 2011 20:37   «« #50 »»   Ответить


Рассуждение проканало бы для конечных х, а они таковыми не являются))
↓↓ 0 ↑↑   VanDull (4 / 3)   24 мар 2012 00:24   «« #51 »»   Ответить


Все норм, возьмите калькулятор Windows , переведите его в двоичный режим и посчитайте, скока будет 0-1? Ответ вас удивит — ...11111111111111111111.
↓↓ 0 ↑↑   Ученик (0 / 3)   03 май 2013 21:21   «« #52 »»   Ответить


ошибка в том, что в последнем равенстве иксы разные — икс следующий слева, икс предыдущий справа
↓↓ 0 ↑↑   Климов (-18 / 16)   29 авг 2013 07:18   «« #53 »»   Ответить


Вы с дубу рухнули, кто не учил функциональный анализ сюда может вообще не писать — вы нифига не шарите в подобной теме. Школьнику такое нельзя объяснять, это обычная особенность неопределенностей, когда вы играете с бесконечностями или нулями: вспомните свои любимые задачи, когда требуется найти ошибку в обеих частях равенства, которое хитрым способом поделили на нуль и получили невесть что — тут тоже самое. Разными путями вы можете получить разный ответ, ведь тут игра бесконечностей — и все ответы будут правильными.
↓↓ −9 ↑↑   Тролль100лвл (-9 / 1)   03 дек 2013 22:33   «« #54 »»   Ответить


Не читала все комментарии, но ошибка вот в чем, вынесли множитель 2 за скобки, начиная со второго слагаемого, а там, извините, геометрическая прогрессия, 2 в степени n, где n=0...k, a k конечное не названо, так и формула другая, х=sum2^n.
Извините, пишу с планшета, не все формулы могу отобразить в стандартном виде.
↓↓ +4 ↑↑   Надин Сурганович (4 / 2)   26 апр 2015 21:43   «« #55 »»   Ответить


Кабы ряд сходился — всё бы и получилось. Господа, вспомните свою студенческую пору..
↓↓ +4 ↑↑   Ермилов Михаил Михайлович (2179 / 1508)   04 ноя 2015 09:39   «« #56 »»   Ответить


Задача школьная. Для 9-11 класса.
↓↓ −4 ↑↑   Кузнецов Сергей Германович (262851 / 13752)   04 ноя 2015 20:10   «« #57 »»   Ответить


X=1+2+...+n/2+n
X=1+2 (1+2+...+n/4+n/2)
X=1+2 (x-n)
X=2n-1
↓↓ 0 ↑↑   саша (0 / 2)   31 окт 2016 14:25   «« #58   Ответить



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2017   Авторы