Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

67. Две башни

Две цилиндрические башни имеют одинаковую высоту — 10 метров, диаметр первой равен 5 метров, второй — 2,5 метра. Вокруг каждой башни идёт винтовая лестница. Угол наклона лестниц по отношению к горизонту везде постоянен и одинаков для обеих башен. У подножия каждой башни стоит по хоббиту.

Вопрос: Кто из хоббитов быстрее доберётся до верхней площадки башни при условии, что идти они будут с одинаковой скоростью?
Примечания
Задачка с подвохом...
2008-08-28

Обсуждение


Задачи :: The Two Towers
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2008-08-29 17:03   »»


Такой вариант:
Скорость хоббита разобьём на три направления - вертикальное (ведущее к цели), касательное (к окружности башни) и нормальное (перпендикулярно первым двум).
Полная скорость равна sqrt(в^2+к^2+н^2)=const.

Нормальное определяется радиусом башни (чем меньше радиус, тем круче поворачиваем). Соотношение вертикального и касательного - одинаково (по условию). Поэтому, чем больше радиус, тем меньше нормальная компонента скорости, и тем больше вертикальная.

Быстрее забраться по толстой башне.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-03 03:40   «« #2 »»   Ответить


Другой вариант
Мне кажется, что диаметр значения не имеет. Если угол наклона одинаковый, то путь до высыто 10 м тоже одинаковый. Просто на тонкой башне будет больше витков.
↓↓ 0 ↑↑   САН (7 / 34)   2007-07-03 13:37   «« #3 »»   Ответить


eruditor перемудрили :)
Прав САН. На длину пути влияет исключительно высота башни.
Но как это доказать так, чтобы не осталось никаких сомнений, а?
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-03 13:45   «« #4 »»   Ответить


Моё решение и есть доакзательство
достаточно исправить в нём одну очевидную ошибку. Какую?.. :-)
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-03 17:15   «« #5 »»   Ответить


Но на самом деле я прав.
Ведь длина шага хоббита - конечная величина. Так что в горизонтальной проекции он идёт не по окружности, а по ломаной с фиксированой длиной звена. А окружность большого радиуса аппроксимировать ломаной проще, чем если радиус мал. Так что на тонкой башне хоббит будет вынужден пройти больше "лишнего" расстояния.
Это рассуждение, кстати, непосредственно связано с моим решением :-)
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-03 17:20   «« #6 »»   Ответить


А хотите, я докажу, что прав САН? :)
Кстати, длина шага 1-го и 2-го хоббита может и различаться (хотя скорость и совпадает). И тогда не важно, какой радиус у окружности. Просто хоббит с длинными ногами пойдет по большой окружности, а с короткими - по маленькой.

К тому же "все объекты в задачке размеров не имеют и т.д..."
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-03 22:32   «« #7 »»   Ответить


То, что прав САН я и сам доказал :)
Просто нормальная компонента скорости равна нулю.

Но логично предположить, что хоббиты одинаковые. И даже если длина шага у них отличается, радиус башни играет важную роль. Возьмите цепочку из длинных звеньев (от бамбуковых занавесок, например) и намотайте её на цилиндр. Очевидно, что чем больше радиус цилиндра, тем выше удастся намотать?
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-03 23:53   «« #8 »»   Ответить


И все же...
в условии написано, что "идти они будут с одинаковой скоростью".
Логично предположить, что так оно и есть на самом деле?

Но, вижу, вы легких путей не ищете, да? :)
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-04 13:52   «« #9 »»   Ответить


Не всё же
Я разве где-то упоминал, что они идут с разной скоростью?
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-04 13:54   «« #10 »»   Ответить


Да вроде нет.
Я в том смысле, что дело все-таки не в скорости. Задачка ведь детская. И решение - соответственное.
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-04 14:14   «« #11 »»   Ответить


Детская?
Детская задачка - это та, которую решают дети. Изначально детских задач почти не бывает.
Вот, например, "детская задачка", знакомая нам с первого класса:
Что больше весит - килограмм пуха или килограмм гвоздей?
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-04 15:20   «« #12 »»   Ответить


ответ.
Пусть у нас есть прямоугольник ABCD, одна сторона которого AB = CD = 10 . Проведем диагональ AC (т. A находиться снизу). Зафиксируем сторону AB, а сторону CD будем "накручивать" на цилиндр диаметра 2.5 м. Таким образом данная диагональ будет играть роль лестницы. Теперь "накрутим" этот прямоугольник на цилиндр диаметра 5, получим ту же лестницу. А т.к. диагональ одна и та же то и пройдут они один и тот же путь.
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   2007-07-04 15:27   «« #13 »»   Ответить


Что больше весит - килограмм пуха или килограмм гвоздей?
Я так понимаю, здесь все дело в том, что понятия "вес" и "масса" не тождественны?
Поэтому пух - легче.
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-05 00:02   «« #14 »»   Ответить


"понятия "вес" и "масса" не тождественны"
Именно поэтому ВЕС одинаковый.
↓↓ 0 ↑↑   Юрий (0 / 3)   2019-01-17 10:33   «« #44   Ответить


:Zero
Теперь понятен смысл слов "детская задачка"? :-)

Да, килограмм пуха весит меньше килограмма гвоздей за счёт силы Архимеда, действующей на груз со стороны воздуха.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-05 03:15   «« #15 »»   Ответить


Последняя попытка :)
Длина шага хоббита слишком мала в сравнении с размерами башен.
Поэтому разница между ними ну о-о-очень несущественная.
Хотя, надо признать, она все же есть.
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-05 13:24   «« #16 »»   Ответить


А что за "очевидная ошибка", которую надо исправить?
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-05 13:34   «« #17 »»   Ответить


to eruditor
мне кажется, что на тонкой башне у хоббита будет лишь больше поворотов на угол с каждым шагом. А ломаная в целом получится короче, чем на широкой башне
↓↓ 0 ↑↑   oleg_1 (0 / 7)   2007-07-05 15:20   «« #18 »»   Ответить


исправляюсь...
вернее поворот при каждом шаге будет круче...
↓↓ 0 ↑↑   oleg_1 (0 / 7)   2007-07-05 15:23   «« #19 »»   Ответить


2 Zero
Хоббит - не муравей. Если диаметр башни 2,5 метра, то это никак не "много меньше" длины шага данного гуманоида :)

А очевидная ошибка в первом решении в том, что нормальная компонента скорости тождественно равна нулю. Ведь горизонтальная скорость всегда направлена по касательной к окружности башни!
Получается, скорость хоббита имеет две компоненты - вертикальную и касательную. Угол между ними - одинаков. Модуль полной скорости - одинаков. Значит, и вертикальная компонента одинакова вне зависимости от диаметра башни.
Но это только при условии, что хоббит катится на велосипеде по идеальной спирали, а не идёт дискретными шагами по ломаной линии.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-05 20:21   «« #20 »»   Ответить


К сожалению мои познаниями в сфере "хоббитоведения" не столь обширны :)
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-07-05 23:33   «« #21 »»   Ответить


я наверное туплю, но...
Если нитку намотать в один слой на толстую катушку, то длина такой нитки будет больше длинны нитки намотанной на тонкую катушку.
Если за нитку взять лестницу, то получится, что хоббиту на толстой башне надо пройти гораздо большее расстояние, или я все-таки туплю?
↓↓ 0 ↑↑   Echidna (0 / 1)   2007-07-19 21:24   «« #22 »»   Ответить


наверное, да :)
что значит "намотать"? По условию нужно намотать так, что
"Угол наклона лестниц по отношению к горизонту везде постоянен и одинаков"
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-20 11:33   «« #23 »»   Ответить


Еще один вариант.
Лестница с перилами? Если да, то можно попробовать шагать "за угол" (при этом опираясь на перила). В проекции на плоскость земли траектория (ломаная) окажется не описанной вокруг окружности башни, а вписанной :) То есть результат будет противоположный -- на узкую башню получится быстрее.
ЗЫ: В этом случае надо думать, как правильно определить скорость при таком способе перемещения.
↓↓ 0 ↑↑   TeopeTuK (0 / 4)   2009-01-13 18:06   «« #24 »»   Ответить


Хоббиты - они на то и хоббиты :)
To eruditor: По-моему, условие дискретности шага не подразумевалось) Потому что, во-первых, в другой формулировке этой задачи требовалось определить, какая из лестниц будет длиннее - вокруг башни с бОльшим диаметром или с меньшим, при равной высоте и угле наклона. Ну а во-вторых, хоббиты и так самые маленькие в Средиземье, чтобы учитывать их величину шага) Или склад фигуры) Потому что полноватому Сэму придется еще идти и на некотором расстоянии от края стены башни) В общем, примем хоббитов в задаче двумерными существами, скользящими по наружной поверхности башни)

Ну а равенство длин лестниц легко определяется с помощью формул евклидовой геометрии)
S=N*pi*D/cos a, где S - длина лестницы, N - число витков, D-диаметр башни, а - угол наклона лестницы к горизонту.
Несложно заметить, что при уменьшении D в m раз, ровно в m раз уменьшается и шаг витка лестницы, ну или в m раз увеличивается число витков. Т.о. длина винтовой лестницы остается одинаковой, чтд.
↓↓ 0 ↑↑   Olorin (0 / 1)   2009-04-16 17:02   «« #25 »»   Ответить


Окончательный ответ!
Хоббиты доберутся до верхней площадки башни одновременно! Т.к. они пройдут одинаковый путь. В одном витке лестницы "толстой" башни поместятся два витка лестницы "худой" башни.
↓↓ 0 ↑↑   Andrey Pivnenko (0 / 6)   2009-11-09 01:14   «« #26 »»   Ответить


Моё мнение
И все таки, я считаю что на узкой башне будет меньше проходить.
вот мои мысли:
возьмем башню толщиной 2,5м и пусть у нее лестница будет шириной 2,5 метра, 1-ый гном пойдет по краю, т.е. фактически эмитировать поход по толстой башне, а другой около башни,
очевидно, что угол наклона по разные краи одинаковый, а расстояния проходит каждый разное...
↓↓ 0 ↑↑   Seva (0 / 2)   2010-01-19 16:03   «« #27 »»   Ответить


для умных
если вы учились до 7ого класса, то знаете что такое прямоугольный треугольник. Допустим высота ето 1ый катет, а линия горизонта 2ой. Треугольники одинаковы, если сторона и прележащие к ней углы равны. Высоты башен равны и обе расположены перпендикулярно к горизонту. Значит остаётся доказать, что 2ые углы, прилежащие к стороне(высоте) равны, что не так уж и сложно, т.к. это дано в условии задачи. Мы доказали равенство тр., а в равных тр. соответствующие стороны равны. Вывод-идти им одинаково.
↓↓ 0 ↑↑   Alukard (0 / 1)   2010-02-19 19:57   «« #28 »»   Ответить


для умных до 7 класса
Дошкольникам так объясняю: беру лист A4 lanscape, по всей диагонали рисую лесенку (ступеньки), сбоку подписываю "высота=10м". Теперь сворачиваю в трубочку 1.5-2 оборота - это наша башня. Потом трубочку из 1 оборота - это толстая башня. Даже пол-трубочки показываю из пол-оборота. Если мы с одинаковой скоростью пойдем по одинаковым или одной и той же дороге - то и придем одновременно. Геометрии они еще не учили, но понимают все.
↓↓ 0 ↑↑   DRomanov (0 / 4)   2010-03-04 17:47   «« #29 »»   Ответить


ИЗДЕВАЕШСЯ
думоешь некто не поймет Я Дошкольник ито понял
↓↓ 0 ↑↑   mmmm98 (0 / 6)   2010-04-02 10:41   «« #30 »»   Ответить


2 DRomanov
в условии дан так же и диаметр про который Вы забыли
↓↓ 0 ↑↑   помпарам (0 / 5)   2010-09-05 08:28   «« #31 »»   Ответить


DRomanov хотя в некотором смысле Вы правы
Цилиндр можно "развирнуть"в прямоугольник, в котором два прямоугольных треугольника=>путь который надо пройти первому хоббиту =sqrt(10*10+5*pi) , а второму sqrt(10*10+2,5*pi), вот так то...
хотя если считать что у них одинаковая угловая скорость, то по идее они должен подняться первый хоббит первым, но так как в условии не сказано какая у них скорость буду считать ее не угловой)))
↓↓ 0 ↑↑   помпарам (0 / 5)   2010-09-05 08:51   «« #32 »»   Ответить


был не прав, углы подьема у них тогда разные....
↓↓ 0 ↑↑   помпарам (0 / 5)   2010-09-05 08:53   «« #33 »»   Ответить


после применения учебников по геометрии выяснилось что пути хоббиты должны пройти одинаковые...да и длина спирали вроде рассчитывается как высота/sin(угла подъема), хотя могу ошибаться
↓↓ 0 ↑↑   помпарам (0 / 5)   2010-09-05 20:32   «« #34 »»   Ответить


если не учитывать размеры хоббитов и то, насколько им удобно подниматься по лестницам, судя по опыту с треугольниками (мы с парнем сделали то же самое), длина спирали одинаковая, хоть число витков разное.
↓↓ 0 ↑↑   erendira (0 / 5)   2010-09-11 01:52   «« #35 »»   Ответить


с точки зрения архитектуры, если у лестниц одинаковый угол наклона, то количество ступеней будет одинаковым. Допутим высота ступени 200 мм (стандартная 150 мм, но для 10 000 мм не подходит), получается 50 ступеней, что так, что эдак. Ступени винтовой лестницы - это сектора окружности. Учитывая условие, что угол наклона одинаков, у нас получактся две идентичные лестницы, только у толстой башни ширина проступи будет значительно больше, чем у тонкой. Если условие, что хоббиты движутся с одинаковой скоростью подразумевает, что они затрачивают одинаковое время на преодоление одной ступени, то поднимутся они одновременно.
↓↓ 0 ↑↑   erendira (0 / 5)   2010-09-11 07:38   «« #36 »»   Ответить


Они придут одинаково.
Как только было сказано "подъём идёт под одним углом" и "их скорость одинакова" - можно забыть про все остальные условия. Они поднимаются под одним углом, с одинаковой скоростью. И потому - придут в одно время, хоть там башня, хоть стенка небоскрёба - совершенно не важно. Равенство скоростей и угла подъёма, делает их скорость подъёма равной, при любых условиях.
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   2010-11-27 23:53   «« #37 »»   Ответить


...
если взять угол 90 градусов, лестница вверх, наглядно видно что не зависит от диаметра)))
↓↓ 0 ↑↑   Blabber (0 / 14)   2011-01-26 14:11   «« #38 »»   Ответить


никто неприйдет вообще
мне так кажется, потому, что лестница винтовая, но закольцованая так как они находяться под одинаковым углом к горизонту и одинаков у обеих башен!!!
↓↓ 0 ↑↑   igrok (0 / 1)   2012-07-30 23:44   «« #39 »»   Ответить


Первым придет тот у кого башня диаметром меньше, так как лестница идет снаружи башни, то и общая длина спирали будет меньше а значить путь будет кароче..
для понимания представьте что вы идете по спирали диаметром 1км, и диаметром 100метров, скорость у вас одинаковая, угол наклона тоже одинаковый, но расстояние то разное....они пройдут одинаковую высоту, но не общий путь(длину) спирали!!!
↓↓ 0 ↑↑   Левая тапка (0 / 2)   2013-06-06 13:34   «« #40 »»   Ответить


Вертикальная компонента скорости у них одинакова. Придут одновременно.
↓↓ 0 ↑↑   Иван (0 / 1)   2017-08-04 14:32   «« #41 »»   Ответить


То, что они придут одновременно, можно понять из пределов угла наклона. Если он дойдет до 90 гр. и станет вертикальным, результат очевиден. Как и при 0 гр.
↓↓ 0 ↑↑   Олег (0 / 85)   2018-10-15 02:20   «« #42 »»   Ответить


У функций, например, |ctg(x/2)| и (ctg(x/2))^2 тоже одинаковые пределы при 0° и 90°, но при других значениях углов значения этих функций различаются.



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2020   Авторы