1. Раскраска.1.

Я может тупой, но не понял, что во что покрашено и что надо доказать?

а. на области находим равносторонний треугольник с длинами сторон 1.
Возможны 2 варианта :
- все вершины треугольника окрашены в один цвет, следовательно берем любые 2
вершины,
окрашены в один цвет, и лежат на расстоянии 1;
- 2 вершины одного цвета, а третья другого, тогда решением будут те 2 вершины одного
цвета

а. на области находим равносторонний треугольник с длинами сторон 1.
Возможны 2 варианта :
- все вершины треугольника окрашены в один цвет, следовательно берем любые 2
вершины - они окрашены в один цвет, и лежат на расстоянии 1;
- 2 вершины одного цвета, а третья другого, тогда решением будут те 2 вершины одного
цвета

решение для трех цветов.
Плоскость покрашена в три цвета. Пусть это будет красный, синий, зеленый
цвет. Докажем, что всегда найдутся две точки одного цвета, на расстоянии 1. Предположим противоположное, что существует раскраска плоскости для которой не существует таких точек. Пусть ABCD - ромб в котором AB=BC=CD=DA=1=BD. Не уменьшая общности можно считать, что А красная. АBD - равностороний треугольник, поэтому B - синяя, D - зеленая (или B - зеленая, D -синяя). BCD - равностороний треугольник, поэтому C - красная. Итак для ромба АBCD A и С одного цвета. Рассмотрим другой ромб AKLM, для которого AK=KL=LM=MA=KL=1, и LC=1. L - красная, LC=1 получили противоречие. Итак из A, B, C ,D, K, L, M всегда найдутся две одного цвета на расстоянии 1.


Для 4 цветов это открытая проблема.

хмм.. для 4 цветов - решения нет!
задача решается для случаев когда площадь окрашена в два или три цвета, это елементарно, как аксиома, но вот для 4 цветов - нихт. Представим ситуацию, когда площадь окрашена следующим образом (красный, зеленый, синий, черный): круг черного цвета, небольшого размера по ширине кольцо примыкающего к черному кругу синего цвета, далее очень широкое кольцо зеленого цвета примыкающее к кольцу синего цвета (ширина зеленого во много раз превосходит ширину внутренего синего кольца и черного круга), остальнач площадь окрашена в красный цвет. При таком положении цветов нельзя найти такого растояния черного-красного, которая бут равняца черному-синему. Или я чегото недопонял, или условие задачи некорректно.

Уже решение есть.

Решение есть!и возможно для любого количества цветов больше одного и для сплошной области
Условие (а) выполняется если за единицу принять диаметр окружности полностью попадающей в монотонную часть области

Доказательство (а) определяет также выполнение (б)
Количество цветов не имеет значения, так как любая пара цветов уже будет разными цветами:)
рассмотрим две монотонные области разных цветов, соприкасающиеся хотябы в одной точке. Возьмем точку соприкосновения из одной области и соблюдение условия (а) для другой. Из этой точки проведем окружность, проходящую через максимально удаленную точку соседней области. Учитывая условие (а) получаем радиус окружности >=1. Окружность любого меньшего радиуса также пересекает соседнюю область хотя бы в одной точке (равнозначно тому,что точки разного цвета находятся на расстоянии радиуса). А окружность с радиусом =1 попадает в это определение.

3 и 4
Представьте белую плоскость, где есть одна красная и одна белая точка на расстоянии, например, 10 единиц. 3 и 4 тогда не выполнятся. Так что надо определять правила раскрашивания.

2 Slavan
Неужели вы не найдёте на почти белой плоскости две точки белого цвета, находящиеся на расстоянии 1?

основе 3-х точек

двух одинаковых рядом может и не быть если они расположены строго в шахматном порядке

Цвета, конечно, могут повторяться на разных расстояниях и одинаковые рядом тоже могут быть, если их расскрашивать разнообразно по своему усмотрению в яркие цвета!

Для любого количества цветов задача решается . Разместить окружность диаметром 1 можно так , чтобы окружность пересекала все цвета . А если цвета распределять в особом порядке , то это уже будет другая задача .

Опечатка
Разумеется вместо "диаметр" нужно читать "радиус" .

Две одинаковые точки могут повторяться на любом расстоянии, ведь вершины гор всегда усыпаны белым снегом с различными оттенками

a,b докажем одновременно. Возле границ цветов всегда существуют 2 точки (A,B) разных цветов на растоянии от 0 до 2 (не включительно). От обеих точек с радиусом 1 строим окружности. Точка (их может быть 2, но нам достаточно взять одну) пересечения окружностей (С) удалена от обеих точек А, B на растояние 1.
Точки А и B разных цветов, точка С обязана иметь какой-то из 2-х цветов. Следовательно среди пар точек АС и BC обязательно одна будет
точками одного цвета, а другая с точками разных цветов.

в) Для трех цветов тут уже кто-то привел доказательство (с помощью ромбов)

г) это вроде пока еще не решенная математическая проблема. Т.е. доказательство возможно существует, но люди его пока еще не нашли.