Проект основателей компании «Ваш репетитор»
ERUDITOR.RU

74. Два числа

В условиях строжайшей секретности были выбраны два целых числа — m и n. Оба они не равны 1, а их сумма меньше 100. Произведение этих чисел дали математику Андрею, их сумму — математику Борису.
Вот их разговор:
А: «Я понятия не имею, какова ваша сумма, Борис.»
Б: «Ну, это не новость для меня, Андрей. Я уже знал, что вы не знали этого.»
А: «Ага! Теперь я понял, чему равна ваша сумма, Борис!»
Б: «А теперь и я тоже знаю ваше произведение!»

Вопрос: Чему равны m и n?
Примечания
Похоже на задачу «Возраст сыновей».
2008-08-28

Обсуждение


Задачи :: Два числа
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2008-08-29 17:06   »»


Математикам было что-либо сообщено о "знаниях" друг друга?
И - числа предписывалось найти им?
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-09-18 10:24   «« #2 »»   Ответить


Оба не равны единице - то есть одновременно? Или каждое из них?
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-09-18 10:29   «« #3 »»   Ответить


И еще вопрос:числа определены однозначно? Ответ единственный?
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-09-18 15:42   «« #4 »»   Ответить


В каком смысле "о "знаниях" друг друга"?..

Ответ однозначный и единственный. Ни одно, ни другое число не равно 1.
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-09-18 16:18   «« #5 »»   Ответить


Zero
Y: "Ну, это не новость для меня, X. Я уже знал, что вы не знали этого." - это было выделено путем умозаключений, как я понимаю, а не сообщено... вопрос уже можно снять. :)
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-09-18 20:45   «« #6 »»   Ответить


Zero
4 и 13.
↓↓ 0 ↑↑   igar (10 / 119)   2007-09-19 10:00   «« #7 »»   Ответить


igar
И почему?
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-09-19 18:38   «« #8 »»   Ответить


Да
↓↓ 0 ↑↑   Zero (38 / 335)   2007-09-19 23:18   «« #9 »»   Ответить


Пронумеруем:
1) X: "Я понятия не имею, какова ваша сумма, Y."
2) Y: "Ну, это не новость для меня, X. Я уже знал, что вы не знали этого."
3) X: "Ага! Теперь я понял, чему равна ваша сумма, Y!"
4) Y: "А теперь и я тоже знаю ваше произведение!"

Из 1) следует, что произведение не состоит из двух простых чисел (иначе X бы сразу узнал числа).
Из 2) следует, что Y видел у себя заведомо нечётную сумму (т.к. любое чётное число можно представить в виде суммы двух простых чисел, и Y не смог бы утверждать 2)), причем из нечётных можно исключить суммы вида 2+P, где P-простое число по той же причине. В итоге остаётся несколько (по моим подсчётам 25) возможных вариантов суммы: 2+9 = 11, 2+15 = 17 и т.д. Так же из 2) делаем вывод: X знает, что у Y нечётная сумма.

Рассмотрим сумму 11.
Возможные варианты:
а) 2+9
б) 3+8
в) 4+7
г) 5+6
Для каждого рассмотрим всевозможные произведения:
а) 2*9 = 18
18 = 2*9
18 = 3*6
В этом случае X отсекает вариант 3+6 = 9, т.к. 9 = 2+7 (т.е. сумма двух простых), остается изначальный 2 и 9. Здесь 3) выполняется!
б) 3*8 = 24
24 = 2*12 - этот вариант отпадает т.к. сумма чётная
24 = 3*8
24 = 4*6 - здесь тоже чётная
В этом случае X определяет, что чисал 3 и 8.
в) 4*7 = 28
28 = 2*14 - чётная сумма
28 = 4*7
Здесь 4 и 7.
г) 5*6 = 30
30 = 2*15 - возможен
30 = 3*10 - невозможен (2+11)
30 = 5*6 - возможен
В этом случае X вообще не может определить так как возможно 2 варианта (2,15) и (5,6) - их суммы не нельзя представить в виде двух простых чисел.

Таким образом получили, что при сумме в 11 возможны 3 случая произвдений, для которых вывполняется 3). Это а) 18 = 2*9, б) 24 = 3*8, в) 28 = 4*7. Т.е. в этом случае 4) никак не выполняется. Для того чтобы выполнялось 4), нужно, чтобы из всех вариантов а)-г) правильным был только один.

Рассмотрим сумму 17.
Возможные варианты:
а) 2+15
б) 3+14
в) 4+13
г) 5+12
д) 6+11
е) 7+10
ж) 8+9

а) 2*15 = 30
30 = 2*15 - возможен
30 = 3*10 - невозможен
30 = 5*6 - возможен
Здесь 3) не выполняется
б) 3*14 = 42
42 = 2*21 - возможен
42 = 3*14 - возможен
42 = 6*7 - невозможен
Здесь 3) не также невыполняется
в) 4*13 = 52
52 = 2*26 - невозможен
52 = 4*13 - возможен
Здесь 3) выполняется!!
г) 5*12 = 60
60 = 2*30 - невозможен
60 = 3*20 - возможен
60 = 5*12 - возможен
60 = 6*10 - невозможен
д) 6*11 = 66
66 = 2*33 - возможен
66 = 3*22 - невозможен
66 = 6*11 - возможен
е) 7*10 = 70
70 = 2*35 - возможен
70 = 5*14 - невозможен
70 = 7*10 - возможен
ж) 8*9 = 72
72 = 2*36 - невозможен
72 = 3*24 - возможен
72 = 4*18 - невозможен
72 = 6*12 - невозможен
72 = 8*9 - возможен
В пунктах г)-ж) путкт 3) не выполняется. Таким образом пункт 3) вополняется только для случая в) где 4*13 = 52. Если Y рассуждал таким образом, то он этот случай и определил.

з.ы. буду очень рад, если кто-нибудь разберётся в чём-нибудь ))
заранее прошу прощения, если чё не понятно.
↓↓ +1 ↑↑   igar (10 / 119)   2007-09-21 00:16   «« #10 »»   Ответить


вот ответ :)
оба числа равны нулю! только при этом разговор имеет логический смысл. Х - не знает что у У - за сумма, хоть и знает что произведение равно нулю. а У - знает что сумма равна нулю поэтому и знает что произведение тоже равно нулю. когда он говорит что он это знает то и Х тоже понимает что У может знать это только есль сумма равна нулю. и конец...
↓↓ 0 ↑↑   nort0n (0 / 1)   2009-10-21 17:16   «« #11 »»   Ответить


ты прав
↓↓ 0 ↑↑   toro (-4 / 16)   2010-03-09 20:31   «« #12 »»   Ответить


БРАВО
↓↓ 0 ↑↑   mmmm98 (0 / 6)   2010-04-02 10:32   «« #13 »»   Ответить


Версия про нули ошибочна - см. фразу (4)
igar всё верно начал расписывать. Считать не охота, но по сути, можно "перевести" разговор математиков так:
X: "Как минимум одно из чисел n,m - не простое. Их произведение, состоит не менее чем из трех множителей, причем как минимум один из них отличается от остальных - поэтому получается несколько вариантов возможных сумм"
Y: "Любая пара чисел, из которых можно составить данную мне сумму, не является суммой простых или суммой чисел на основе одного множителя. Однако, там несколько вариантов пар, которые подходят под описанные вами условия, и я не могу определить, что это за числа m и n" - надо заметить, тут Y круто сболтнул, учитывая сколько вариантов устраняется.
X: "Из всех множителей моего произведения, я могу составить только один вариант пары, сумма которой подойдёт под ваше ограничение - не будет разбиваться на сумму 2-х простых или сумму чисел одного множителя".
4) "Ах вот как! Из всех вариантов пар на которые можно разбить сумму, и подходящих под ваши условия, есть только одна, которая позволила бы вам определить это. Теперь и мне понятно что это за числа!"
В общем, хорошо они поговорили...
↓↓ 0 ↑↑   SergeyASh (4 / 36)   2010-11-27 09:09   «« #14 »»   Ответить


Ответ 2 числа: 38 и 39
↓↓ 0 ↑↑   Вл (0 / 1)   2012-04-05 14:11   «« #15 »»   Ответить


ребят, всё просто, надо найти числа, сумма и произведение которых могут быть соответственно суммой и произведением только этих двух чисел. А это числа 2 и 2, а если числа должны быть разными, то 2 и 3.
↓↓ 0 ↑↑   Андрей (0 / 1)   2013-05-07 10:57   «« #16 »»   Ответить


Ребята, а откуда такая уверенность, что числа натуральные?
К целым числам ещё относятся и отрицательные
↓↓ +4 ↑↑   Lanos (4 / 8)   2013-05-25 19:48   «« #17 »»   Ответить


3 и 14
↓↓ 0 ↑↑   fanat68rus (0 / 1)   2013-08-29 14:16   «« #18 »»   Ответить


Согласен с Lanos . В условии не хватает ограничения натуральными числами. Тогда возможные варианты от 2 до 97. Тогда будет верным решение, предложенное вверху. Иначе есть множество вариаций с отрицательными числами
↓↓ 0 ↑↑   Glav (0 / 2)   2014-10-29 10:40   «« #19 »»   Ответить


↓↓ 0 ↑↑   Anatolii (0 / 1)   2015-12-15 10:52   «« #20 »»   Ответить


m и n – это любые целые числа, включая отрицательные. Они не равны 1 и их сумма меньше 100.
Рассмотрим случай, когда эти числа не отрицательные. У меня возникло впечатление, что автор задачи не рассматривал иной вариант, хотя условию он не противоречит.
Итак, Андрею дали сумму m и n, Борису произведение.
Проанализируем первую часть диалога:
А: «Я понятия не имею, какова ваша сумма, Борис.»
Б: «Ну, это не новость для меня, Андрей. Я уже знал, что вы не знали этого.»
По сути это уравнения с одним неизвестным, которым является значение «m». Если у Андрея есть какое-то произведение, которое не равно нулю, то тогда он мог бы строить предположения насчет суммы Бориса. Но, раз он прямо говорит, что «понятия не имеет», то у него произведение, либо равно нулю, либо число больше 10. Если бы значение было иным, то Андрею без труда было бы вычислить сумму Бориса, т.к. все остальные числа можно разложить только на 2 разных множителя и не более. Мы помним, что n и m не равно 1, а значит произведение не может быть 11. Число 12 можно разложить на 6 и 2, а так же на 4 и 3.
10=5*2
8=4*2
6=3*2
4=2*2
Во всех этих случаях сумма Бориса очевидна. Но, раз Борис говорит, что он уже знал, что Андрей понятия не имеет о его сумме, то тогда получается, что сумма Бориса либо равна нулю, либо равна любому простому числу (которое делится только на единицу и на само себя). А это возможно только тогда, когда либо оба числа равны нулю, либо одно из них равно нулю, а второе является либо 2 либо 3. При разделении этих чисел на два слагаемых одно из них будет либо 0, либо 1. Единица быть не может по условию задачи, а значит второе слагаемое 0, а значит у Андрея произведение 0. Другие простые числа, например, 5 и далее, можно уже разделить на 2 слагаемых несколько раз (0+5, 1+4, 2+3). Т.е., если сумма Бориса, 5, то он может предположить, что загаданные числа это 2 и 3. В таком случае сказать, что он заранее знал о том, что Андрей без понятия о его сумме он не мог. Будь у Андрея число 6, он бы сразу сказал, что сумма Бориса 5.
Таким образом приходим к выводу, что m=0, n=0, 2, 3
Повторюсь, что это решение исходя из того, что m и n не отрицательные. И да, 0 это тоже целое число.
↓↓ 0 ↑↑   Дмитрий (0 / 1)   2016-07-11 12:36   «« #21 »»   Ответить


А: «Я понятия не имею, какова ваша сумма, Борис.»
Б: «Ну, это не новость для меня, Андрей. Я уже знал, что вы не знали этого.»
А: «Ага! Теперь я понял, чему равна ваша сумма, Борис!»
Б: «А теперь и я тоже знаю ваше произведение!»


1. Тем, что он не имеет понятия о сумме которую сказали Борису, он говорит нам о том, что у числа известного ему более одной пары множителей дающей это число, иначе будь эта пара только одна, он бы сложил множители и получил сумму.

2. Тем, что для Бориса это не новость, Борис сообщает нам о том, что у него такое число, что ни одна пара слагаемых — из суммы которых его
число можно составить, при произведении не даст нам такого числа , у которого будет в рамках данных условий задачи только одна пара множителей.

3. Тем, что Андрей из этого понял какая сумма у Бориса, Андрей сообщает нам о том, что среди всех его пар — множителей, есть только одна такая пара множителей, которая в сумме даст нам такое число, среди слагаемых которого все пары слагаемых из которых это число можно составить ни одна при произведении не даст такое число у которого будет только одна пара множителей в рамках данных условий задачи.

4. Тем что и Борис теперь знает чему равно произведение данное Андрею, он сообщает нам о том, что среди всех пар — слагаемых из которых можно было составить его сумму, была только одна пара, которая в произведении давала такое число — среди множителей которого была только одна пара в сумме дающая такое число среди всех пар слагаемых которого не было пары в произведении дающей такое число у которого была бы только одна пара множителей.

Ну а дальше просто подбирать числа подходящие под данные условия
.... что то я забыл с чего начинал .. )))
↓↓ 0 ↑↑   Марк Мурадян (0 / 10)   2016-09-05 18:10   «« #22 »»   Ответить


-1 и -1 просто так написал
↓↓ 0 ↑↑   женя (0 / 1)   2016-11-11 00:58   «« #23 »»   Ответить


m=P. (P-простое),
n=4.
Т.е. сумма=Р+4, а произведение=4*Р.
↓↓ 0 ↑↑   Арташес (0 / 3)   2016-12-28 00:27   «« #24 »»   Ответить


Уточнение:
m=P. (P-простое) & (m+2) — не простое;
n=4.
Т.е. сумма=Р+4, а произведение=4*Р.
↓↓ 0 ↑↑   Арташес (0 / 3)   2016-12-29 23:55   «« #25 »»   Ответить


С помощью компьютера:
13 & 4
19 & 4
25 & 2
32 & 3
49 & 2
↓↓ 0 ↑↑   Alex (0 / 1)   2020-01-22 21:49   «« #26   Ответить



Ваше имя
Email
Текст ответа
© 2006-2020   Авторы