ERUDITOR.RU
 →  Тема «Сумма нечетных чисел»
Сумма нечетных чисел
Задача: "Докажите, что сумма 1+3+5+7+...(n-2)+n+(n+2) будет являться полным квадратом"
Решается она элементарно методом математической индукции, к примеру. А можете ли вы решить эту задачу в уме, не пользуясь громоздкими вычислениями?
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-07-31 20:32   »»


А что, сумму арифметической прогрессии посчитать -- это "громоздкие вычисления"?..
↓↓ +3 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-07-31 21:20   «« #2 »»   Ответить


А если n - не фиксированное?
↓↓ +3 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-07-31 22:33   «« #3 »»   Ответить


И что?
Запишем сумму в корректном виде:
1+3+5+...+(2n-1)
Сумма равна (1+2n-1)*n/2=n^2.
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-08-04 01:39   «« #4 »»   Ответить


Логично, в уме. :) В школе, в среднем звене, мною было найдено "геометрическое" решение.. думаю, "Америка" была открыта не мной, но все же: сумма нечетных числе - это поля, к примеру, шахматной доски, "бесконечно продолженной" в пространстве. Первый угловой квадрат - единица, все "огибающие" - на два больше предыдущего "числа", представленного количеством полей.
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-08-06 07:48   «« #5 »»   Ответить


Физики-теоретики В УМЕ параметрические интегралы по дробно-мерному пространству вычисляют :-)

А сумма арифметической прогрессии элементарно считается методом, кажется, Гаусса, который он в раннем детстве придумал:

Есть сумма прогрессии:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-3) + (2n-1)
Замечаем, что если разбить последовательность на пары (один берём слева, второй - справа)
1 + (2n-1)
3 + (2n-3)
5 + (2n-5)
...
то мы сразу видим, что их сумма везде одинакова, и равна 2n.
А пар таких в последовательности из n элементов - n/2.
Значит, сумма всей последовательности равна
2n * n/2 = n^2
↓↓ 0 ↑↑   eruditor (143 / 443)   2007-08-06 14:10   «« #6 »»   Ответить


Способ, предложенный Гауссом, помню. Он, по-моему, для сотни вывел а потом обобщил. :)
↓↓ 0 ↑↑   7777777 (3 / 130)   2007-08-06 14:23   «« #7   Ответить


 →  Тема «Сумма нечетных чисел»

Чтобы ответить на конкретное сообщение, нужно нажать на ссылку «ответить» справа под самим сообщением.
Эта форма — для ответов на исходное сообщение темы (на всю тему в целом).
© 2006-2024   Авторы