Сумма нечетных чисел
Задача: "Докажите, что сумма 1+3+5+7+...(n-2)+n+(n+2) будет являться полным квадратом" Решается она элементарно методом математической индукции, к примеру. А можете ли вы решить эту задачу в уме, не пользуясь громоздкими вычислениями?
↓↓ 0 ↑↑
7777777 (3 / 130) 2007-07-31 20:32 »»
А что, сумму арифметической прогрессии посчитать -- это "громоздкие вычисления"?..
А если n - не фиксированное?
И что? Запишем сумму в корректном виде: 1+3+5+...+(2n-1) Сумма равна (1+2n-1)*n/2=n^2.
Логично, в уме. :) В школе, в среднем звене, мною было найдено "геометрическое" решение.. думаю, "Америка" была открыта не мной, но все же: сумма нечетных числе - это поля, к примеру, шахматной доски, "бесконечно продолженной" в пространстве. Первый угловой квадрат - единица, все "огибающие" - на два больше предыдущего "числа", представленного количеством полей.
Физики-теоретики В УМЕ параметрические интегралы по дробно-мерному пространству вычисляют :-)
А сумма арифметической прогрессии элементарно считается методом, кажется, Гаусса, который он в раннем детстве придумал:
Есть сумма прогрессии: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-3) + (2n-1) Замечаем, что если разбить последовательность на пары (один берём слева, второй - справа) 1 + (2n-1) 3 + (2n-3) 5 + (2n-5) ... то мы сразу видим, что их сумма везде одинакова, и равна 2n. А пар таких в последовательности из n элементов - n/2. Значит, сумма всей последовательности равна 2n * n/2 = n^2
Способ, предложенный Гауссом, помню. Он, по-моему, для сотни вывел а потом обобщил. :)
|
|